الخلط بين التكلفة الحدّية والتكلفة المتوسطة

يعطي تمرين دالة تكلفة إجمالية $C(x)=x^2+20x+100$ (بالدرهم، من أجل $x$ مادة مُنتَجة) ويطلب حساب التكلفة الحدّية $Cm(5)$ والتكلفة المتوسطة $CM(5)$. كثير من التلاميذ يحسبون مقدارًا واحدًا فقط — غالبًا $C^{\prime }(x)$ — ثم يستعملونه للإجابة عن السؤالين، أو الأسوأ، يحسبون $\frac{C(x)}{x}$ معتقدين أنهم حصلوا على التكلفة الحدّية. غير أنهما دالتان مختلفتان: $Cm(x)=C^{\prime }(x)$ و$CM(x)=\frac{C(x)}{x}$.

هنا، $C^{\prime }(x)=2x+20$، إذن $Cm(5)=2(5)+20=30$ درهم: وهي التكلفة التقريبية لإنتاج الوحدة $6$. من جهة أخرى، $C(5)=5^2+20(5)+100=25+100+100=225$، إذن $CM(5)=\frac{225}{5}=45$ درهم: وهي التكلفة المتوسطة لكل مادة على مجموع الوحدات الخمس المنتَجة. نحصل على $Cm(5)=30$ درهم و$CM(5)=45$ درهم، قيمتان مختلفتان بوضوح. التلميذ الذي يجيب « 30 درهم » عن السؤالين معًا، أو يحسب $\frac{C^{\prime }(x)}{x}$ معتقدًا أنه يحسب متوسط التكلفة الحدّية، يفقد النقاط رغم اشتقاق صحيح.

القاعدة الذهنية: قبل حساب أي شيء، تُرجم السؤال إلى لغة يومية: « الوحدة التالية » ← المشتقة $C^{\prime }(x)$؛ « لكل وحدة في المتوسط » ← القسمة $\frac{C(x)}{x}$. كتابة الصيغتين جنبًا إلى جنب على الورقة قبل تعويض القيمة العددية يتجنّب الانعكاس.

• التكلفة الحدّية $Cm(x)=C^{\prime }(x)$: نشتقّ، ولا نقسم أبدًا على $x$.
• التكلفة المتوسطة $CM(x)=\frac{C(x)}{x}$: نقسم التكلفة الإجمالية، ولا نشتقّ أبدًا.
• تحقّق من أن $Cm(x)$ و$CM(x)$ ليستا نفس العبارة الجبرية بعد الحساب — إذا تطابقتا في كل مكان، فهذا علامة على خطأ (لا تتساويان إلا عند نقطة واحدة محدَّدة، وهي النقطة التي تكون فيها $CM$ في أدنى قيمة لها).
• أعد قراءة السؤال وحدّد الكلمة المفتاحية: « إضافية »، « إنتاج وحدة أخرى » = حدّي؛ « في المتوسط »، « لكل وحدة منتَجة » = متوسط.

في مواضيع الباكالوريا المغربية شعبة العلوم الاقتصادية، يكلّف هذا الخلط نقاطًا في عدة أنواع من الأسئلة الكلاسيكية لفصل « تطبيق الاشتقاق على الاقتصاد ». أولًا في أسئلة الحساب المباشرة (« حدّد $Cm(x_0)$ » ثم « حدّد $CM(x_0)$ ») حيث يخصّص سلّم التنقيط نقاطًا مستقلة لكل نتيجة: إعطاء نفس القيمة لكليهما يفقد نصف النقاط حتى لو كان الاشتقاق صحيحًا. ثم، والأهم، في أسئلة تحسين الإنتاج والبحث عن عتبة المردودية: الاستدلال الكلاسيكي يقوم على دراسة إشارة $Cm(x)-CM(x)$، أو البحث عن أدنى قيمة لـ $CM(x)$ بحلّ $C{M}^{\prime }(x)=0$، وهو ما يعادل إثبات أن هذا الحدّ الأدنى يتحقق عندما $Cm(x)=CM(x)$. التلميذ الذي يخلط بين الدالتين منذ البداية يحصل على معادلة خاطئة، وحدّ أدنى خاطئ للتكلفة المتوسطة، وبالتالي كمية إنتاج مثلى غير صحيحة — مما يُبطل بقية التمرين بأكمله (حساب الربح الأقصى، المقارنة بسعر السوق، إلخ).