1. La décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine

Dans un circuit RC, la décharge d'un condensateur à travers un conducteur ohmique est monotone : la tension $u_C(t)$ décroît sans jamais changer de signe. Si l'on remplace le conducteur ohmique par une bobine d'inductance $L$, le comportement change radicalement : la tension et le courant oscillent autour de zéro avant de s'amortir progressivement. Ce phénomène traduit un échange périodique d'énergie entre le condensateur (énergie électrique) et la bobine (énergie magnétique), analogue à l'échange entre énergie potentielle et énergie cinétique d'un pendule mécanique en oscillation libre.

2. Équation différentielle du circuit RLC série

Pour un circuit RLC série en décharge libre (sans générateur), on oriente le circuit avec le courant $i=\frac{dq}{dt}$, où $q$ est la charge portée par l'armature du condensateur reliée au sens positif choisi. La loi des mailles donne $u_C-u_R-u_L=0$, avec $u_C=\frac{q}{C}$, $u_R=Ri$ et $u_L=L\frac{di}{dt}$. On obtient l'équation différentielle du second ordre, en charge :

$$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$

ou, de façon équivalente, en tension aux bornes du condensateur :

$$\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\frac{d{u}_C}{dt}+\frac{u_C}{LC}=0$$

3. Régime périodique libre : le cas idéal $R=0$

Lorsque la résistance du circuit est négligeable, l'équation différentielle se réduit à $\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+{\omega }_0^2{u}_C=0$, dont la solution est sinusoïdale : $u_C(t)=U_m\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$. La pulsation propre ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ et la période propre $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ ne dépendent que des caractéristiques $L$ et $C$ du circuit, jamais des conditions initiales. Les oscillations sont dites libres et non amorties : l'amplitude reste constante indéfiniment.

4. Régime pseudo-périodique : $0<R<R_c$

En pratique, tout circuit possède une résistance non nulle (fil, bobine, générateur). Les oscillations s'amortissent alors progressivement : la courbe $u_C(t)$ garde une allure quasi sinusoïdale mais son amplitude décroît selon une enveloppe exponentielle. On parle de régime pseudo-périodique, caractérisé par une pseudo-période $T$ légèrement supérieure à $T_0$. Lorsque $R$ est faible devant la résistance critique $R_c$, l'approximation $T\approx T_0$ reste valable et permet une mesure indirecte de $L$ ou de $C$.

5. Régime apériodique et résistance critique

Au-delà d'une certaine résistance, appelée résistance critique $R_c=2\sqrt{\frac{L}{C}}$, le système ne peut plus osciller : la tension $u_C(t)$ retourne directement vers zéro sans changer de signe. Si $R=R_c$, le régime est dit apériodique critique : c'est le retour à l'équilibre le plus rapide sans aucune oscillation, exploité par exemple dans l'amortissement des galvanomètres et des appareils de mesure analogiques. Si $R>R_c$, le régime est apériodique : le retour à l'équilibre est plus lent.

6. Identification expérimentale des trois régimes

À l'oscilloscope, les trois régimes se distinguent aisément : le régime périodique donne une sinusoïde d'amplitude constante ; le régime pseudo-périodique donne une sinusoïde amortie dont l'enveloppe exponentielle décroît d'autant plus vite que $R$ est grand ; le régime apériodique ne présente aucune oscillation, seulement un retour progressif vers zéro, d'autant plus lent que $R$ est grand devant $R_c$.

7. Étude énergétique du circuit RLC série

Le condensateur stocke une énergie électrique $E_e=\frac{1}{2}C{u}_C^2$ et la bobine une énergie magnétique $E_m=\frac{1}{2}L{i}^2$. L'énergie électromagnétique totale du circuit est $E_T=E_e+E_m$. Dans le cas idéal $R=0$, cette énergie totale se conserve : elle est intégralement transférée entre condensateur et bobine à chaque quart de période, ce qui explique la pérennité des oscillations libres.

8. Amortissement : dissipation de l'énergie par effet Joule

Dès que $R\ne 0$, une partie de l'énergie électromagnétique est convertie en chaleur par effet Joule dans la résistance, avec $\frac{d{E}_T}{dt}=-R{i}^2\le 0$. L'énergie totale décroît donc au cours du temps, ce qui explique la diminution progressive de l'amplitude des oscillations en régime pseudo-périodique. Après un temps suffisamment long, toute l'énergie initialement stockée dans le condensateur est dissipée sous forme thermique et le circuit atteint l'état de repos $u_C=0$, $i=0$.