Atlas des passerelles

La dérivée d'une fonction mesure sa vitesse de variation instantanée. Si $x(t)$ est une position en fonction du temps, $x^{\prime }(t)$ est le taux de variation de $x$ par rapport à $t$.

En cinématique, la position $x(t)$ d'un mobile donne sa vitesse instantanée $v(t)=x^{\prime }(t)$ par dérivation, et l'accélération $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$ par une seconde dérivation. C'est la définition physique de la vitesse : le taux de variation de la position.

Position → (dérivée) → vitesse → (dérivée) → accélération. Une accélération constante signale un mouvement uniformément varié.

L'intégrale permet de calculer le travail d'une force variable : $W=\int F(x)dx$ (aire sous la courbe force-déplacement).

Pour un ressort de raideur $k$, la force de rappel vaut $F(x)=-kx$. Le travail à fournir pour l'étirer de $0$ à $x$ (donc à vaincre la force $kx$) est $W=\underset{0}{\overset{x}{\int }}k{x}^{\prime }d{x}^{\prime }=\frac{1}{2}k{x}^2$ : c'est l'énergie potentielle élastique $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ emmagasinée.

$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ est l'intégrale de la force de rappel $kx$ : l'aire sous une droite est un triangle, d'où le facteur $\frac{1}{2}$.

Les solutions de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay$ (avec $a\in \mathbb{R}$) sont les fonctions $y(t)=C{e}^{at}$.

Lors de la décharge d'un condensateur de capacité $C$ à travers une résistance $R$, la charge $q(t)$ vérifie $\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{RC}$. C'est une équation $y^{\prime }=ay$ avec $a=-\frac{1}{RC}$, donc $q(t)=q_0{e}^{-t/RC}$, où $\tau =RC$ est la constante de temps du circuit.

Toute décroissance en « $37\%$ par constante de temps $\tau$ » (charge, courant, tension) cache une équation $y^{\prime }=ay$ et une solution $y_0{e}^{-t/\tau }$.

La fonction exponentielle décroissante $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ (avec $\lambda >0$) modélise toute décroissance proportionnelle à la quantité restante.

Le nombre de noyaux radioactifs restants suit la loi de décroissance radioactive $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$, où $\lambda$ est la constante radioactive. La demi-vie $t_{1/2}$ (temps au bout duquel la moitié des noyaux ont disparu) vérifie $N_0{e}^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{N_0}{2}$, d'où $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$.

$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }$ : résoudre $e^{-\lambda t}=\frac{1}{2}$ revient toujours à isoler $t$ avec un $\ln$.

Un nombre complexe $z=a+jb$ a un module $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (les physiciens notent $j$ l'unité imaginaire, pour ne pas la confondre avec l'intensité $i$).

En régime sinusoïdal, un circuit RLC série est représenté par l'impédance complexe $\underline{Z}=R+j\left(L\omega -\frac{1}{C\omega }\right)$. Le module $|\underline{Z}|$ donne le rapport entre l'amplitude de la tension et celle du courant : $U_{max}=|\underline{Z}|\times I_{max}$.

Le module d'un nombre complexe (leçon de maths) devient directement l'impédance en ohms (grandeur physique mesurable).

Une fonction sinusoïdale s'écrit $f(t)=A\cos (\omega t+\phi )$, de période $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

L'élongation d'un oscillateur mécanique (masse-ressort, pendule) ou l'amplitude d'une onde progressive sinusoïdale s'écrit $x(t)=X_m\cos (\omega t+\phi )$, où $X_m$ est l'amplitude, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ la pulsation, et $\phi$ la phase à l'origine.

$\omega =\frac{2\pi }{T}$ relie toujours la pulsation (physique) à la période (mesurable à l'oscilloscope ou au chronomètre).

Un vecteur $\vec{u}(x,y)$ a pour norme $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ ; la somme de deux vecteurs s'obtient en additionnant leurs coordonnées.

La deuxième loi de Newton (relation fondamentale de la dynamique) énonce que la somme vectorielle des forces appliquées à un système égale le produit de sa masse par son accélération : $\sum \vec{F}=m\vec{a}$. C'est une équation entre vecteurs : il faut sommer les coordonnées de chaque force séparément.

Les forces s'additionnent comme des vecteurs, jamais comme des nombres : $3\text{N}+4\text{N}$ perpendiculaires ne font pas $7$ N mais $5$ N.

Le logarithme décimal $\log (x)$ transforme un rapport multiplicatif en différence : $\log (10^{-n})=-n$.

Le pH d'une solution est défini à partir de la concentration en ions oxonium : $\text{pH}=-\log \left[{\text{H}}_3{\text{O}}^{+}\right]$. C'est justement parce que les concentrations varient sur plusieurs ordres de grandeur ($10^{-1}$ à $10^{-14}$ mol/L) que le logarithme est l'outil adapté pour les comparer sur une échelle simple de 0 à 14.

$\log (a\times 10^{-n})=\log a-n$ : la partie entière du pH vient de la puissance de 10, la décimale vient de $\log a$.

Le nombre dérivé en un point est la pente de la tangente à la courbe en ce point : $f^{\prime }(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$.

En cinétique chimique, la vitesse instantanée de formation d'un produit $P$ est la dérivée de sa concentration par rapport au temps : $v(t)=\frac{d[P]}{dt}$. Graphiquement, c'est la pente de la tangente à la courbe $[P]=f(t)$ à l'instant $t$.

« Vitesse instantanée » en chimie = « nombre dérivé » en maths = pente de la tangente. Toujours lue sur une tangente, jamais sur une sécante.

Pour deux évènements indépendants $A$ et $B$ : $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Un arbre de probabilité permet de dénombrer les cas favorables.

Lors d'un croisement entre deux individus hétérozygotes $Aa\times Aa$ (allèle $A$ dominant), chaque parent transmet $A$ ou $a$ avec probabilité $\frac{1}{2}$, indépendamment. Un arbre à deux niveaux donne les génotypes de la descendance : $\frac{1}{4}AA$, $\frac{1}{2}Aa$, $\frac{1}{4}aa$, soit $\frac{3}{4}$ de phénotype dominant et $\frac{1}{4}$ de phénotype récessif — la 3ᵉ loi de Mendel (ségrégation).

Un croisement $Aa\times Aa$ est un arbre de probabilité à deux étages de branches $\frac{1}{2}/\frac{1}{2}$ : les probabilités des chemins se multiplient, celles des chemins menant au même phénotype s'additionnent.

Une suite géométrique de raison $q$ vérifie $u_n=u_0\times q^n$. Ici $q=2$ : la population double à chaque génération.

Une bactérie se divise en deux toutes les $T$ minutes (temps de génération). Après $n$ générations, la population suit $N=N_0\times 2^n$, soit $N(t)=N_0\times 2^{t/T}$ en fonction du temps écoulé $t$.

« Le nombre double à intervalle régulier » est le signal d'une suite géométrique de raison 2, pas d'une suite arithmétique.

Moyenne $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$ et écart-type $\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ résument une série de mesures.

Toute mesure expérimentale (rythme cardiaque, taille de plantes, fréquence respiratoire) répétée sur un échantillon se résume par sa moyenne (valeur centrale) et son écart-type (dispersion des mesures, donc fiabilité de l'expérience). Un écart-type faible signale des mesures reproductibles.

Un écart-type petit devant la moyenne = mesures fiables ; un écart-type grand = résultat expérimental à mettre en doute ou échantillon trop hétérogène.

La fonction exponentielle $N(t)=N_0{e}^{kt}$ modélise une croissance dont le taux (et non la valeur) est constant : $N^{\prime }(t)=kN(t)$.

Sur une courte période, sans limitation de ressources, une population croît selon $N(t)=N_0{e}^{kt}$, où $k$ est le taux de croissance instantané. C'est le modèle malthusien, base de l'écologie des populations avant d'introduire la capacité limite du milieu.

« Taux de croissance constant » (et non « nombre d'individus ajoutés constant ») est le signal d'un modèle exponentiel, pas linéaire.

Le nombre dérivé en $t=0$ est la pente de la tangente à l'origine de la courbe.

En biochimie, la vitesse initiale $v_0$ d'une réaction catalysée par une enzyme se lit comme la pente de la tangente à l'origine sur la courbe $[\text{produit}]=f(\text{temps})$, avant que la concentration en substrat ne diminue significativement.

La vitesse initiale se lit toujours à l'origine de la courbe : c'est là que la tangente est la plus simple à tracer (elle part de $0$).