Solide indéformable et rotation autour d'un axe fixe

Un solide est dit indéformable (ou rigide) lorsque la distance entre deux points quelconques de ce solide reste constante au cours du temps. Un tel solide est en rotation autour d'un axe fixe $(\Delta )$ lorsque cet axe reste immobile dans le référentiel d'étude et que tout point $M$ du solide non situé sur $(\Delta )$ décrit un cercle de centre $H$ (projeté orthogonal de $M$ sur l'axe) et de rayon $R=HM$, dans un plan perpendiculaire à l'axe. Hormis les points de l'axe, tous les points du solide effectuent le même mouvement de rotation : ils balaient le même angle pendant le même intervalle de temps.

Repérage angulaire : l'abscisse angulaire

Pour repérer la position du solide, on choisit un point $M$ (hors axe) et le demi-plan mobile contenant l'axe $(\Delta )$ et $M$, que l'on compare à un demi-plan fixe pris comme référence. L'angle orienté entre ces deux demi-plans, noté $\theta (t)$, est l'abscisse angulaire du solide à l'instant $t$. Elle s'exprime en radians (rad). La fonction $\theta (t)$ constitue l'équation horaire du mouvement de rotation.

Vitesse angulaire instantanée

La vitesse angulaire instantanée $\omega (t)$ mesure la rapidité de variation de l'abscisse angulaire au cours du temps :

$$\omega (t)=\frac{d\theta }{dt}$$

Elle s'exprime en radians par seconde (rad/s). Si $\omega (t)>0$, le solide tourne dans le sens positif choisi ; si $\omega (t)<0$, il tourne dans le sens contraire. À un instant donné, tous les points du solide (hors axe) ont la même vitesse angulaire.

Accélération angulaire instantanée

L'accélération angulaire instantanée ${\omega }^{\prime }(t)$ mesure la rapidité de variation de $\omega (t)$ :

$${\omega }^{\prime }(t)=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$$

Elle s'exprime en radians par seconde au carré (rad/s²). Lorsque $\omega$ et ${\omega }^{\prime }$ sont de même signe, le mouvement est accéléré ; lorsqu'ils sont de signes contraires, le mouvement est retardé (décéléré).

Relations entre grandeurs angulaires et grandeurs linéaires

Pour un point $M$ situé à la distance $R$ de l'axe (en mètres), la vitesse linéaire a pour norme $v=R\times \omega$ (en m/s). Le vecteur accélération de $M$ se décompose en une accélération tangentielle $a_t=R\times {\omega }^{\prime }$, liée à la variation de la norme de $\vec{v}$, et une accélération normale (centripète) $a_n=R\times {\omega }^2=\frac{v^2}{R}$, liée au changement de direction de $\vec{v}$ et toujours dirigée vers l'axe. L'accélération totale est $\vec{a}=\overrightarrow{a_t}+\overrightarrow{a_n}$, de norme $a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$, exprimée en m/s².

Mouvement de rotation uniforme

Le mouvement est uniforme lorsque $\omega$ reste constante, c'est-à-dire ${\omega }^{\prime }(t)=0$. L'équation horaire s'écrit alors $\theta (t)={\theta }_0+\omega (t-t_0)$, où ${\theta }_0$ est l'abscisse angulaire à la date $t_0$. Chaque point du solide (hors axe) décrit un cercle à vitesse linéaire constante.

Mouvement de rotation uniformément varié

Le mouvement est uniformément varié lorsque ${\omega }^{\prime }$ reste constante et non nulle. Les équations horaires sont $\omega (t)={\omega }_0+{\omega }^{\prime }(t-t_0)$ et $\theta (t)={\theta }_0+{\omega }_0(t-t_0)+\frac{1}{2}{\omega }^{\prime }(t-t_0{)}^2$. On utilise aussi la relation indépendante du temps ${\omega }^2-{\omega }_0^2=2{\omega }^{\prime }(\theta -{\theta }_0)$. Le mouvement est dit uniformément accéléré si $|\omega |$ augmente, et uniformément retardé si $|\omega |$ diminue.

Période et fréquence de rotation

La période de rotation $T$ est la durée d'un tour complet, c'est-à-dire d'un angle de $2\pi$ rad ; elle s'exprime en secondes (s). La fréquence de rotation $n$ est le nombre de tours effectués par seconde ; elle s'exprime en tours par seconde (tr/s) ou en hertz (Hz). Pour un mouvement uniforme : $T=\frac{2\pi }{\omega }$ et $n=\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi }$, soit encore $\omega =2\pi n$.