📈 Suites numériques Question sur 4 pts

Suite du chiffre d'affaires d'une entreprise

Suite arithmético-géométrique, monotonie et convergence : où vont les points au Bac Éco.

📋 L'énoncé

Le chiffre d'affaires annuel d'une entreprise, exprimé en milliers de dirhams, est modélisé par la suite $(u_{n})$ définie par :

$u_{0} = 100$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n + 1} = 0, 9 u_{n} + 20$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} = u_{n} - 200$ . Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$ .
Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ , puis déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'entreprise.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Calcul de $u_{1} = 0, 9 \times 100 + 20 = 110$
+0,25

💡 Simple application de la relation de récurrence, mais la valeur numérique exacte doit apparaître pour être créditée.
2

Calcul de $u_{2} = 0, 9 \times 110 + 20 = 119$
+0,25

💡 Réutiliser $u_{1}$ trouvé à l'étape précédente ; une erreur de calcul ici ne pénalise pas la suite si la méthode reste correcte.
3

Exprimer $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200 = 0, 9 u_{n} + 20 - 200 = 0, 9 u_{n} - 180$
+0,5

💡 Partir de la définition $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200$ et remplacer $u_{n + 1}$ par la relation donnée : c'est le point de départ obligé de la démonstration.
4

Factoriser : $v_{n + 1} = 0, 9 (u_{n} - 200) = 0, 9 v_{n}$
+0,75

💡 La factorisation par $0, 9$ est l'étape-clé qui prouve la géométricité ; sans elle, la conclusion « suite géométrique » n'est pas justifiée.
5

Conclure : $(v_{n})$ est géométrique de raison $q = 0, 9$ et de premier terme $v_{0} = u_{0} - 200 = - 100$
+0,5

💡 Il faut donner explicitement les deux paramètres $q$ et $v_{0}$ , pas seulement affirmer que la suite est géométrique.
6

Écrire $v_{n} = v_{0} \times q^{n} = - 100 \times 0, 9^{n}$ puis $u_{n} = v_{n} + 200 = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$
+0,75

💡 Appliquer la formule du terme général d'une suite géométrique, puis revenir à $u_{n}$ via $u_{n} = v_{n} + 200$ : l'oubli du retour à $u_{n}$ est une perte fréquente.
7

Signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = v_{n + 1} - v_{n} = - 0, 1 v_{n} = 10 \times 0, 9^{n} > 0$ , donc $(u_{n})$ est croissante
+0,5

💡 Le correcteur veut voir le calcul de la différence mené jusqu'à un signe explicite, pas seulement « la suite semble croissante ».
8

Limite : $0 < 0, 9 < 1$ donc $n \to + \infty lim 0, 9^{n} = 0$ , d'où $n \to + \infty lim u_{n} = 200$ ; interprétation : le chiffre d'affaires se stabilise autour de $200$ milliers de dirhams à long terme
+0,5

💡 Justifier la limite de $0, 9^{n}$ par la condition $0 < q < 1$ , puis relier le résultat mathématique au contexte économique de l'énoncé.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué sur la démonstration, ces points se ramassent presque toujours :

$u_{1}$ et $u_{2}$ sont offerts : c'est du calcul direct avec la formule de récurrence, aucune méthode à trouver.
Le début de la question 2 rapporte seul : écrire $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200$ et remplacer $u_{n + 1}$ , même sans factoriser correctement ensuite.
Le premier terme $v_{0} = - 100$ se calcule en une ligne à partir de $u_{0} = 100$ , indépendamment du reste.
La limite de $0, 9^{n}$ est un résultat de cours ( $0 < q < 1 \Rightarrow q^{n} \to 0$ ) : cite-la même si tu n'as pas retrouvé l'expression de $u_{n}$ .

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 9$ » sans calcul de $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ ; $u_{n} = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$ donné sans étape intermédiaire ; « la suite converge vers 200 » sans justifier pourquoi $0, 9^{n} \to 0$ .

Version complète : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 200 = 0, 9 u_{n} - 180 = 0, 9 (u_{n} - 200) = 0, 9 v_{n}$ donc $(v_{n})$ géométrique de raison $0, 9$ et $v_{0} = - 100$ ; $v_{n} = - 100 \times 0, 9^{n}$ donc $u_{n} = 200 - 100 \times 0, 9^{n}$ ; $u_{n + 1} - u_{n} = 10 \times 0, 9^{n} > 0$ donc $(u_{n})$ croissante ; comme $0 < 0, 9 < 1$ , $0, 9^{n} \to 0$ donc $u_{n} \to 200$ , le chiffre d'affaires tend à se stabiliser vers $200$ milliers de dirhams.

🕵️

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