🛒 Probabilités Question sur 4 pts

Probabilités : satisfaction client et loi binomiale

Arbre pondéré, probabilités totales puis loi binomiale sur un échantillon de clients : où tombent les points dans un exercice éco.

📋 L'énoncé

Une entreprise commercialise un produit par deux circuits de distribution : les magasins physiques (événement $M$ ) et la vente en ligne (événement $L$ ). Une étude montre que $60%$ des ventes se font en magasin et le reste en ligne. Parmi les clients ayant acheté en magasin, $90%$ se déclarent satisfaits ; parmi ceux ayant acheté en ligne, $65%$ se déclarent satisfaits. On note $S$ l'événement « le client est satisfait ».

On choisit un client au hasard parmi l'ensemble des acheteurs du produit.

1) Représenter la situation par un arbre pondéré, puis calculer $p (M \cap S)$ et $p (L \cap S)$ .

2) Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que $p (S) = 0, 8$ .

3) On interroge $3$ clients au hasard, de façon indépendante (la population de clients est très grande). Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de clients satisfaits parmi les $3$ interrogés.

a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

b) Calculer la probabilité $p (X \geq 2)$ que la majorité des clients interrogés soient satisfaits.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On pose $p (M) = 0, 6$ et $p (L) = 0, 4$ , puis on place sur les branches issues de $M$ et $L$ : $p_{M} (S) = 0, 9$ et $p_{L} (S) = 0, 65$ .
+0,5

💡 Traduire correctement les pourcentages de l'énoncé en probabilités et probabilités conditionnelles est la première chose vérifiée par le correcteur, avant tout calcul.
2

On calcule $p (M \cap S) = p (M) \times p_{M} (S) = 0, 6 \times 0, 9 = 0, 54$ et $p (L \cap S) = p (L) \times p_{L} (S) = 0, 4 \times 0, 65 = 0, 26$ .
+0,5

💡 Poser la formule de l'intersection avant l'application numérique, pour chacune des deux branches, sécurise ce point même en cas d'erreur d'arithmétique ensuite.
3

On énonce la formule des probabilités totales : $p (S) = p (M \cap S) + p (L \cap S)$ , car ${M, L}$ forme une partition de l'univers.
+0,5

💡 Citer explicitement la formule des probabilités totales, avec la justification de la partition, montre la maîtrise de la méthode indépendamment du résultat final.
4

On calcule : $p (S) = 0, 54 + 0, 26 = 0, 8$ .
+0,5

💡 Le calcul aboutissant à la valeur attendue $p (S) = 0, 8$ ferme proprement la question 2.
5

On identifie l'épreuve de Bernoulli répétée : interroger un client au hasard est une épreuve à deux issues, « satisfait » (succès, $p = 0, 8$ ) ou « non satisfait » (échec).
+0,5

💡 Nommer explicitement le succès et sa probabilité est le point d'entrée obligatoire pour justifier une loi binomiale.
6

On justifie la répétition à l'identique et l'indépendance : les $3$ clients sont interrogés dans les mêmes conditions et indépendamment les uns des autres (population très grande).
+0,5

💡 Sans cette justification d'indépendance et de constance de $p$ , la loi binomiale n'est pas valablement établie : c'est un point à part entière.
7

Conclusion : $X$ suit la loi binomiale $B (3; 0, 8)$ .
+0,5

💡 Préciser les deux paramètres $n = 3$ et $p = 0, 8$ est la réponse explicitement attendue à la question 3a.
8

On calcule $p (X \geq 2) = p (X = 2) + p (X = 3)$ avec $p (X = 2) = (2 3) \times 0, 8^{2} \times 0, 2 = 3 \times 0, 64 \times 0, 2 = 0, 384$ et $p (X = 3) = 0, 8^{3} = 0, 512$ , donc $p (X \geq 2) = 0, 384 + 0, 512 = 0, 896$ .
+0,5

💡 Le passage par le complémentaire ou la somme directe des cas $X = 2$ et $X = 3$ , avec la formule $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ posée avant le calcul, concentre le dernier point de la question.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué en cours de route, plusieurs points restent à ta portée :

Dessine l'arbre pondéré complet dès le départ : traduire les pourcentages en $p (M)$ , $p (L)$ , $p_{M} (S)$ , $p_{L} (S)$ rapporte des points sans le moindre calcul.
Écris la formule des probabilités totales $p (S) = p (M \cap S) + p (L \cap S)$ avant de faire le calcul numérique : elle est créditée même si tu te trompes ensuite dans l'addition.
Pour la question 3a, cite les deux conditions de la loi binomiale (épreuve de Bernoulli à deux issues + répétitions identiques et indépendantes) : ces mots-clés valent un point à eux seuls, avant même d'écrire $B (3; 0, 8)$ .
Pose toujours la formule générale $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ avant de calculer $p (X = 2)$ et $p (X = 3)$ : la formule posée est valorisée même si le résultat numérique final est faux.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $p (S) = 0, 6 \times 0, 9 + 0, 4 \times 0, 65 = 0, 8$ . $X$ suit $B (3; 0, 8)$ car c'est une répétition. $p (X \geq 2) = 0, 896$ . » Les résultats sont corrects, mais rien n'est justifié : ni la formule des probabilités totales, ni les deux conditions de la loi binomiale, ni la formule $p (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ avant le calcul. Le correcteur ne voit que des nombres tombés du ciel et retire près de la moitié des points malgré des réponses justes.

Version complète : on pose l'arbre avec $p (M) = 0, 6$ , $p (L) = 0, 4$ , $p_{M} (S) = 0, 9$ , $p_{L} (S) = 0, 65$ ; on calcule $p (M \cap S) = 0, 54$ et $p (L \cap S) = 0, 26$ ; on énonce « ${M, L}$ partitionne l'univers donc $p (S) = p (M \cap S) + p (L \cap S) = 0, 8$ » ; on justifie l'épreuve de Bernoulli ( $p = 0, 8$ ) répétée $3$ fois de façon identique et indépendante, donc $X \sim B (3; 0, 8)$ ; enfin on pose la formule $p (X = k) = (k 3) \times 0, 8^{k} \times 0, 2^{3 - k}$ avant de calculer $p (X = 2) = 0, 384$ et $p (X = 3) = 0, 512$ , pour conclure $p (X \geq 2) = 0, 896$ . Chaque phrase-clé déclenche son point.

🕵️

Entraîne-toi à repérer les pertes de points

Sauras-tu voir l'erreur qui coûte des points dans un corrigé ? → Trouve l'erreur

→

← Précédent

💰 Placement à intérêts composés : suite géométrique et seuil

📈 Suite du chiffre d'affaires d'une entreprise

D'autres barèmes décodés

🔢 Suites

Une démonstration par récurrence

📈 Analyse

Montrer qu'une équation a une unique solution (TVI)

📉 Suites

Montrer qu'une suite récurrente converge

📊 Voir tous les barèmes décodés →