📈 Fonction exponentielle Question sur 5 pts

Étude d'une fonction avec exponentielle (Sciences Éco)

Limite, dérivée, signe et maximum d'une fonction exponentielle en contexte économique (Bac Sciences Éco).

📋 L'énoncé

Une entreprise modélise le nombre d'unités vendues d'un produit, en milliers, en fonction du temps $t$ (en années) depuis son lancement par la fonction $g$ définie sur $[0; + \infty [$ par : $g (t) = (2 t - 1) e^{- t} + 1$ .

Calculer $t \to + \infty lim g (t)$ . En déduire une interprétation économique de ce résultat.
Montrer que pour tout $t \in [0; + \infty [$ : $g^{'} (t) = (3 - 2 t) e^{- t}$ .
Étudier le signe de $g^{'} (t)$ sur $[0; + \infty [$ , puis dresser le tableau de variations de $g$ .
En déduire la valeur maximale du nombre d'unités vendues, arrondie au millier près, et préciser à quelle date elle est atteinte.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Calcul de la limite : $t \to + \infty lim (2 t - 1) e^{- t} = 0$ (croissances comparées) donc $t \to + \infty lim g (t) = 1$
+0,5

💡 La croissance comparée $t e^{- t} \to 0$ est l'argument attendu : sans elle, la forme reste indéterminée.
2

Interprétation économique : les ventes se stabilisent autour de $1$ millier d'unités à long terme (asymptote horizontale $y = 1$ )
+0,75

💡 Le correcteur exige la traduction concrète du résultat mathématique dans le contexte de l'énoncé, pas seulement la limite brute.
3

Dérivée du produit : $g = u \cdot v$ avec $u (t) = 2 t - 1$ , $v (t) = e^{- t}$ , donc $u^{'} (t) = 2$ et $v^{'} (t) = - e^{- t}$
+0,5

💡 Identifier explicitement $u$ , $u^{'}$ , $v$ , $v^{'}$ avant d'appliquer la formule sécurise le point même si la suite dérape.
4

Calcul et factorisation : $g^{'} (t) = 2 e^{- t} + (2 t - 1) (- e^{- t}) = e^{- t} (2 - (2 t - 1)) = (3 - 2 t) e^{- t}$
+0,75

💡 La factorisation par $e^{- t}$ jusqu'à la forme demandée par l'énoncé est le cœur de la question ; un résultat non simplifié perd la moitié du point.
5

Signe de $g^{'} (t)$ : comme $e^{- t} > 0$ pour tout $t$ , le signe de $g^{'} (t)$ est celui de $3 - 2 t$ ; donc $g^{'} (t) > 0$ sur $[0; \frac{3}{2} [$ et $g^{'} (t) < 0$ sur $] \frac{3}{2}; + \infty [$
+0,5

💡 Justifier que le facteur exponentiel est toujours strictement positif est la phrase-clé qui ramène l'étude au signe de $3 - 2 t$ .
6

Tableau de variations : $g$ croissante sur $[0; \frac{3}{2}]$ , décroissante sur $[\frac{3}{2}; + \infty [$ , avec $g (0) = 0$ et limite $1$ en $+ \infty$
+0,5

💡 Le tableau doit faire apparaître la valeur en $0$ , la limite en $+ \infty$ et des flèches cohérentes avec le signe trouvé.
7

Calcul du maximum : $g (\frac{3}{2}) = (2 \times \frac{3}{2} - 1) e^{- 3/2} + 1 = 2 e^{- 3/2} + 1 \approx 1, 446$
+0,75

💡 Le calcul exact de la valeur extrémale, pas seulement sa position, est ce qui rapporte le point ; l'erreur classique est d'oublier le « $+ 1$ » final.
8

Conclusion économique : le maximum d'environ $1, 446$ millier d'unités (soit environ $1446$ unités) est atteint pour $t = \frac{3}{2}$ an, soit $18$ mois après le lancement
+0,75

💡 La réponse doit être reformulée dans le contexte (unités vendues, date en mois) : une valeur mathématique seule, sans interprétation, ne clôt pas la question.

Total de la question 5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué en cours de route, plusieurs points restent accessibles :

Pose toujours $t \to + \infty lim t e^{- t} = 0$ avant de conclure : c'est la ligne la plus rapportée de la question 1.
Pour la dérivée d'un produit, écris $u$ , $u^{'}$ , $v$ , $v^{'}$ séparément avant de combiner : ces identifications sont notées indépendamment du résultat final.
Rappelle explicitement que $e^{- t} > 0$ pour tout $t$ : cette phrase à elle seule justifie tout le signe de $g^{'}$ sans calcul supplémentaire.
N'oublie jamais le « $+ 1$ » en évaluant $g (\frac{3}{2})$ : c'est l'erreur numérique la plus fréquente sur ce type d'exercice.
Une phrase d'interprétation économique (ventes, unités, durée) est exigée séparément du calcul : elle vaut son propre point.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $g (t) \to 1$ , $g^{'} (t) = (3 - 2 t) e^{- t}$ , maximum en $t = \frac{3}{2}$ . » Aucune interprétation économique, dérivée donnée sans les étapes $u, u^{'}, v, v^{'}$ , valeur du maximum non calculée : plus de la moitié des points s'envole malgré un résultat final correct.

Version complète : $t \to + \infty lim (2 t - 1) e^{- t} = 0$ donc $g (t) \to 1$ , ce qui signifie que les ventes se stabilisent autour de $1$ millier d'unités ; avec $u = 2 t - 1$ , $v = e^{- t}$ , on obtient $g^{'} (t) = 2 e^{- t} - (2 t - 1) e^{- t} = (3 - 2 t) e^{- t}$ ; comme $e^{- t} > 0$ , le signe est celui de $3 - 2 t$ , d'où $g$ croissante puis décroissante avec maximum en $t = \frac{3}{2}$ ; $g (\frac{3}{2}) = 2 e^{- 3/2} + 1 \approx 1, 446$ , soit environ $1446$ unités vendues $18$ mois après le lancement. Chaque étape justifiée et interprétée rapporte son point.

🕵️

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