💰 Mathématiques financières Question sur 4 pts

Placement à intérêts composés : suite géométrique et seuil

Où vont les points au Bac Sciences Éco : reconnaître la suite géométrique d'un placement, calculer une valeur acquise et résoudre le seuil avec un logarithme.

📋 L'énoncé

Un épargnant place un capital de $15000$ DH dans un compte rémunéré au taux annuel de $6%$ , à intérêts composés. On note $u_{n}$ la valeur acquise par ce capital après $n$ années de placement, avec $u_{0} = 15000$ .

1) Justifier que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison $q$ et le premier terme $u_{0}$ . Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ .

2) Calculer $u_{5}$ , la valeur acquise par le capital après $5$ ans (arrondir au centime).

3) Déterminer, en résolvant une inéquation, le plus petit entier $n$ à partir duquel le capital placé dépasse $25000$ DH.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Chaque année, le capital est multiplié par $1 + 0, 06 = 1, 06$ , donc $u_{n + 1} = 1, 06 u_{n}$ pour tout $n \in N$ .
+0,5

💡 Traduire le mécanisme des intérêts composés par la relation de récurrence $u_{n + 1} = q u_{n}$ est l'argument qui justifie la nature géométrique : il est noté avant même de conclure.
2

On en déduit que $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 1, 06$ et de premier terme $u_{0} = 15000$ .
+0,5

💡 Nommer explicitement « suite géométrique » et donner $q$ ET $u_{0}$ est la conclusion attendue de la question 1, créditée séparément de la relation de récurrence.
3

Pour tout $n \in N$ , $u_{n} = u_{0} \times q^{n} = 15000 \times 1, 0 6^{n}$ .
+0,5

💡 L'expression du terme général en fonction de $n$ , avec la formule du cours correctement appliquée, rapporte un point indépendant du calcul numérique qui suit.
4

Application numérique : $u_{5} = 15000 \times 1, 0 6^{5}$ .
+0,25

💡 Poser le calcul avant de le mener au bout est valorisé : le correcteur voit que la formule de la question 1 est correctement réutilisée.
5

$1, 0 6^{5} \approx 1, 338226$ , donc $u_{5} \approx 20073, 38$ DH.
+0,75

💡 Le résultat numérique final, cohérent avec la formule posée et correctement arrondi au centime, valide entièrement la question 2.
6

On pose l'inéquation $15000 \times 1, 0 6^{n} > 25000$ , soit $1, 0 6^{n} > \frac{5}{3}$ .
+0,5

💡 Traduire « dépasse $25000$ DH » par l'inéquation exacte, puis isoler $1, 0 6^{n}$ , est la mise en place attendue avant tout passage au logarithme.
7

En appliquant le logarithme népérien (croissant sur $] 0; + \infty [$ ) aux deux membres : $n ln (1, 06) > ln (\frac{5}{3})$ , puis $n > \frac{ln ( \frac{5}{3} )}{ln ( 1 , 06 )}$ car $ln (1, 06) > 0$ .
+0,75

💡 Justifier que $ln (1, 06) > 0$ pour ne pas changer le sens de l'inégalité est explicitement barémé : c'est le piège classique de ce type de question.
8

$\frac{ln ( 5/3 )}{ln ( 1 , 06 )} \approx 8, 77$ , donc le plus petit entier qui convient est $n = 9$ : c'est à partir de la $9^{e}$ année que le capital dépasse $25000$ DH.
+0,25

💡 Arrondir à l'entier supérieur (et non tronquer) puis conclure en une phrase complète est le dernier geste qui ferme la question 3.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Cet exercice se découpe en blocs indépendants : même bloqué sur le logarithme final, tu peux ramasser la quasi-totalité des points en amont.

Écris toujours la relation $u_{n + 1} = 1, 06 u_{n}$ avant de conclure « suite géométrique » : c'est cette phrase qui justifie la nature de la suite, pas seulement l'affirmation.
La formule $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ rapporte un point à elle seule, même si tu te trompes ensuite dans le calcul de $1, 0 6^{5}$ .
Pour l'inéquation, pose d'abord $1, 0 6^{n} > \frac{5}{3}$ avant de passer au log : cette étape de mise en place est notée séparément.
N'oublie jamais de préciser « $ln (1, 06) > 0$ donc le sens de l'inégalité est conservé » : c'est le mot-clé que le correcteur cherche pour valider le passage au log.
Arrondis $8, 77$ à l'entier supérieur ( $n = 9$ ), jamais à l'entier le plus proche : une conclusion $n = 8$ ou $n = 8, 77$ perd le dernier point.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $(u_{n})$ est géométrique de raison $1, 06$ . $u_{5} \approx 20073$ . $1, 0 6^{n} > 5/3$ donc $n \approx 8, 77$ , donc $n = 8$ . » La relation de récurrence n'est jamais écrite, l'arrondi n'est pas justifié et l'entier final est faux (il fallait arrondir au-dessus, pas tronquer) : plus de la moitié des points s'envole malgré une démarche globalement correcte.

Version complète : on écrit $u_{n + 1} = 1, 06 u_{n}$ , on conclut « suite géométrique de raison $q = 1, 06$ et de premier terme $u_{0} = 15000$ », puis $u_{n} = 15000 \times 1, 0 6^{n}$ ; on calcule $u_{5} \approx 20073, 38$ DH ; on pose $15000 \times 1, 0 6^{n} > 25000$ , soit $1, 0 6^{n} > \frac{5}{3}$ , on justifie $ln (1, 06) > 0$ avant de passer au log, on trouve $n > 8, 77$ et on conclut proprement $n = 9$ . Chaque « donc » écrit correspond à un point gagné.

🕵️

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