💹 Dérivation & fonctions économiques Question sur 5 pts

Bénéfice d'une entreprise : dérivée, tableau de variations, optimisation

Bac Sciences Éco : dérivée, signe, tableau de variations puis quantité optimale — où tombent les points étape par étape.

📋 L'énoncé

Une entreprise fabrique un produit en quantité $q$ (exprimée en centaines d'unités, $q \in [0; 6]$ ). Son bénéfice, exprimé en milliers de dirhams, est modélisé par la fonction $B$ définie sur $[0; 6]$ par : $B (q) = - q^{3} + 9 q^{2} - 15 q - 5$ .

Calculer $B^{'} (q)$ pour tout $q \in [0; 6]$ , puis vérifier que $B^{'} (q) = - 3 (q - 1) (q - 5)$ .
Étudier le signe de $B^{'} (q)$ sur $[0; 6]$ et dresser le tableau de variations de $B$ .
Justifier que le bénéfice de l'entreprise est maximal pour une production de $500$ unités, et calculer ce bénéfice maximal.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Calcul de la dérivée : $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ .
+0,5

💡 Dériver terme à terme ( $- q^{3} \to - 3 q^{2}$ , $9 q^{2} \to 18 q$ , $- 15 q \to - 15$ , constante $\to 0$ ) est le point de départ obligatoire, noté même si la suite échoue.
2

Factorisation vérifiée : $- 3 (q - 1) (q - 5) = - 3 (q^{2} - 6 q + 5) = - 3 q^{2} + 18 q - 15 = B^{'} (q)$ .
+0,5

💡 L'énoncé demande de VÉRIFIER la forme factorisée : développer et retrouver exactement $B^{'} (q)$ prouve l'égalité, ce n'est pas juste une remarque décorative.
3

Étude du signe : sur $[0; 6]$ , $- 3 < 0$ , donc $B^{'} (q)$ est du signe de $- (q - 1) (q - 5)$ ; on en déduit $B^{'} (q) < 0$ sur $[0; 1 [$ , $B^{'} (q) > 0$ sur $] 1; 5 [$ et $B^{'} (q) < 0$ sur $] 5; 6]$ .
+1

💡 Le signe d'un produit de deux facteurs affines multiplié par une constante négative est LE point technique de la question ; le correcteur veut voir le raisonnement sur chaque intervalle, pas seulement le résultat final.
4

Valeurs aux points clés : $B (0) = - 5$ , $B (1) = - 1 + 9 - 15 - 5 = - 12$ , $B (5) = - 125 + 225 - 75 - 5 = 20$ , $B (6) = - 216 + 324 - 90 - 5 = 13$ .
+1

💡 Chaque valeur numérique correcte du tableau est créditée séparément ; une seule erreur de calcul ne fait perdre que la ligne concernée, pas tout le tableau.
5

Tableau de variations complet : $B$ décroissante sur $[0; 1]$ (de $- 5$ à $- 12$ ), croissante sur $[1; 5]$ (de $- 12$ à $20$ ), décroissante sur $[5; 6]$ (de $20$ à $13$ ).
+0,5

💡 Le tableau doit être cohérent avec le signe de $B^{'}$ obtenu juste avant : flèches et valeurs alignées, sinon le correcteur ne peut pas le valider.
6

Comparaison des valeurs candidates au maximum : $B (5) = 20$ est supérieur à $B (0) = - 5$ et à $B (6) = 13$ , les deux seules autres valeurs à considérer (bord du domaine et minimum local).
+0,5

💡 Sur un intervalle fermé, le maximum global s'obtient en comparant TOUTES les valeurs candidates (extremum local et bornes) ; l'oublier fait perdre le caractère « global » du maximum.
7

Conclusion : $B$ atteint son maximum sur $[0; 6]$ en $q = 5$ , donc pour $q = 5$ centaines d'unités, soit $500$ unités produites.
+0,5

💡 La conversion de l'unité de $q$ (centaines) vers le nombre d'unités réel est explicitement demandée par l'énoncé : l'oublier coûte le point même avec un calcul juste.
8

Bénéfice maximal : $B (5) = 20$ , soit un bénéfice maximal de $20000$ dirhams.
+0,5

💡 La conversion finale en dirhams (milliers de DH $\to$ DH) est la phrase de conclusion économique attendue, indissociable du résultat mathématique.

Total de la question 5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même si tu bloques sur le signe de $B^{'}$ , plusieurs points restent accessibles indépendamment :

La dérivée se calcule terme à terme sans piège : $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ est un point garanti, même si tu ne factorises pas ensuite.
La vérification de la factorisation ne demande aucune inspiration : développe $- 3 (q - 1) (q - 5)$ et compare au résultat précédent, c'est un point mécanique.
Les valeurs du tableau ( $B (0)$ , $B (1)$ , $B (5)$ , $B (6)$ ) sont notées une par une : calcule-les toutes même si tu doutes du signe de $B^{'}$ , chaque valeur juste rapporte.
N'oublie jamais la conversion d'unité : $q = 5$ correspond à $500$ unités (centaines), et $B (5) = 20$ correspond à $20000$ DH (milliers). Deux phrases de conclusion, deux points distincts.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15 = - 3 (q - 1) (q - 5)$ , positif entre $1$ et $5$ , donc maximum en $q = 5$ , $B (5) = 20$ . » Le correcteur ne voit ni la vérification de la factorisation par développement, ni la comparaison avec les bornes $B (0)$ et $B (6)$ , ni la conversion en unités réelles et en dirhams : près de la moitié des points s'envole malgré un résultat final juste.

Version complète : on calcule $B^{'} (q) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ , on développe $- 3 (q - 1) (q - 5) = - 3 q^{2} + 18 q - 15$ pour vérifier l'égalité, on étudie le signe sur chaque intervalle ( $- 3 < 0$ , signe opposé à $(q - 1) (q - 5)$ ), on dresse le tableau avec les quatre valeurs $B (0) = - 5$ , $B (1) = - 12$ , $B (5) = 20$ , $B (6) = 13$ , on compare $B (5) = 20$ aux bornes pour conclure au maximum global, puis on traduit : $q = 5$ correspond à $500$ unités et $B (5) = 20$ correspond à $20000$ DH de bénéfice maximal. Chaque étape rédigée est une étape créditée.

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