∫ Calcul intégral Question sur 4 pts

Coût total à partir du coût marginal (calcul intégral)

Retrouver le coût total à partir du coût marginal, puis calculer un coût moyen par intégrale : où tombent les points au Bac Sciences Éco.

📋 L'énoncé

Une entreprise fabrique un produit en quantité $x$ (en centaines d'unités), $x \in [0; 100]$ . Le coût marginal de production, exprimé en milliers de dirhams, est donné par : $C m (x) = 0, 003 x^{2} - 0, 6 x + 40$ .

Le coût fixe de l'entreprise est $C F = 500$ (en milliers de dirhams).

Déterminer la fonction de coût total $C T$ sachant que $C T$ est une primitive de $C m$ vérifiant $C T (0) = C F$ .
Calculer $C T (100)$ , le coût total de production de $100$ centaines d'unités.
Calculer $0 \int 100 C m (x) d x$ et interpréter ce résultat en termes de coût.
Calculer la valeur moyenne de $C m$ sur $[0; 100]$ et interpréter le résultat.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Poser que $C T$ est une primitive de $C m$ , donc $C T (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 40 x + k$ où $k$ est une constante.
+0,5

💡 Reconnaître le lien primitive/coût marginal et écrire la primitive générale avec sa constante est le point de départ obligatoire.
2

Calculer chaque primitive terme à terme : une primitive de $0, 003 x^{2}$ est $0, 001 x^{3}$ , une primitive de $- 0, 6 x$ est $- 0, 3 x^{2}$ , une primitive de $40$ est $40 x$ .
+0,5

💡 Le détail terme à terme montre la maîtrise des primitives usuelles de $x^{n}$ ; une erreur sur un seul terme ne fait perdre que ce point.
3

Utiliser la condition $C T (0) = C F = 500$ pour déterminer $k$ : $C T (0) = k = 500$ .
+0,5

💡 C'est l'exploitation de l'hypothèse économique (coût fixe = coût total sans production) qui fixe la constante d'intégration.
4

Conclure : $C T (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 40 x + 500$ .
+0,5

💡 La réponse complète à la question 1 doit être écrite noir sur blanc, constante comprise.
5

Calculer $C T (100) = 0, 001 \times 10 0^{3} - 0, 3 \times 10 0^{2} + 40 \times 100 + 500 = 1000 - 3000 + 4000 + 500 = 2500$ .
+0,5

💡 L'application numérique correcte, détail des calculs intermédiaires visible, sécurise le point même en cas de faute de frappe.
6

Relier l'intégrale à la primitive : $0 \int 100 C m (x) d x = C T (100) - C T (0)$ .
+0,5

💡 Poser explicitement le théorème fondamental (intégrale = différence des primitives aux bornes) est le raisonnement attendu, indépendamment du calcul.
7

Calculer $0 \int 100 C m (x) d x = 2500 - 500 = 2000$ .
+0,5

💡 Le résultat numérique doit être donné, avec l'interprétation économique : c'est le coût variable engendré par la production des $100$ centaines d'unités.
8

Valeur moyenne : $\overline{C m} = \frac{1}{100 - 0} 0 \int 100 C m (x) d x = \frac{2000}{100} = 20$ , soit un coût marginal moyen de $20$ milliers de dirhams par centaine d'unités.
+0,5

💡 La formule de la valeur moyenne doit être posée avant le calcul, et le résultat interprété dans le contexte économique pour obtenir le dernier point.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même sans finir tout l'exercice, plusieurs points se ramassent facilement :

Écris tout de suite la primitive générale $C T (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 40 x + k$ : c'est un point acquis même si tu bloques sur la constante.
N'oublie jamais la condition $C T (0) = C F$ : c'est elle qui donne $k = 500$ , un réflexe économique simple mais souvent négligé.
Pose la formule $0 \int 100 C m (x) d x = C T (100) - C T (0)$ même sans refaire le calcul : le lien primitive/intégrale est noté pour lui-même.
Pour la valeur moyenne, la formule $\overline{C m} = \frac{1}{b - a} a \int b C m (x) d x$ rapporte un point même si le calcul numérique échoue.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $C T (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 40 x + 500$ , $C T (100) = 2500$ , l'intégrale vaut $2000$ et la moyenne $20$ . » Les résultats sont corrects mais rien n'est justifié : pas de mention de la primitive, pas d'exploitation explicite de $C T (0) = C F$ , pas de formule de la valeur moyenne, aucune interprétation économique. Le correcteur ne peut valoriser que les nombres finaux, pas la démarche.

Version complète : on pose « $C T$ est une primitive de $C m$ donc $C T (x) = 0, 001 x^{3} - 0, 3 x^{2} + 40 x + k$ » ; on utilise « $C T (0) = C F = 500$ donc $k = 500$ » ; on calcule $C T (100) = 1000 - 3000 + 4000 + 500 = 2500$ ; on écrit « $0 \int 100 C m (x) d x = C T (100) - C T (0) = 2500 - 500 = 2000$ , ce qui représente le coût variable de production des $100$ centaines d'unités » ; enfin « $\overline{C m} = \frac{2000}{100} = 20$ , soit un coût marginal moyen de $20$ milliers de dirhams par centaine d'unités ». Chaque formule posée avant le calcul et chaque interprétation économique déclenchent un point.

🕵️

Entraîne-toi à repérer les pertes de points

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