📉 Limites & continuité Question sur 4 pts

Bénéfice d'une entreprise : limite et seuil de rentabilité (TVI)

Limite en $+\infty$, continuité et TVI sur une fonction de bénéfice : où le correcteur place chaque point au Bac Sciences Éco.

📋 L'énoncé

Une entreprise fabrique un produit. Pour une production de $x$ centaines d'unités ( $x \geq 0$ ), le bénéfice, exprimé en milliers de dirhams, est modélisé par la fonction $B$ définie sur $[0; + \infty [$ par :

$B (x) = \frac{- 2 x ^{2} + 9 x + 4}{x + 2}$

1) Calculer $x \to + \infty lim B (x)$ . Interpréter économiquement ce résultat.

2) Justifier que $B$ est continue sur $[0; + \infty [$ , montrer que $B^{'} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 x - 7 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ , puis établir que $B$ est strictement décroissante sur $[4; 5]$ .

3) Montrer que l'équation $B (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans l'intervalle $[4; 5]$ . Interpréter économiquement le nombre $α$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

$B (x) = \frac{- 2 x ^{2} + 9 x + 4}{x + 2} = x \times \frac{- 2 + \frac{9}{x} + \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ , et $x \to + \infty lim \frac{- 2 + \frac{9}{x} + \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} = - 2$ , donc $x \to + \infty lim B (x) = - \infty$ .
+0,5

💡 La mise en facteur par le terme de plus haut degré est la méthode attendue pour lever la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ : la méthode ET le résultat final sont crédités ensemble sur cette ligne.
2

Interprétation : au-delà d'un certain niveau de production, le bénéfice devient négatif et diminue indéfiniment : produire en trop grande quantité finit par ruiner l'entreprise.
+0,5

💡 Le Bac Sciences Éco exige systématiquement une phrase d'interprétation économique : un résultat mathématique juste sans interprétation perd ce point.
3

Continuité : $B$ est le quotient de deux fonctions polynômes, avec $x + 2 \neq = 0$ pour tout $x \geq 0$ , donc $B$ est continue sur $[0; + \infty [$ .
+0,5

💡 Justifier la continuité (quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas) est une hypothèse obligatoire du TVI utilisé en question 3 : elle doit être écrite explicitement, pas seulement supposée.
4

Dérivée : avec $u (x) = - 2 x^{2} + 9 x + 4$ et $v (x) = x + 2$ , $u^{'} (x) = - 4 x + 9$ et $v^{'} (x) = 1$ , donc $B^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ^{'} ( x )}{v ( x ) ^{2}} = \frac{( - 4 x + 9 ) ( x + 2 ) - ( - 2 x ^{2} + 9 x + 4 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
+0,5

💡 Poser la formule de dérivation d'un quotient avec $u$ , $v$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ clairement identifiés rapporte, même si le développement qui suit n'est pas terminé.
5

Après développement : $(- 4 x + 9) (x + 2) - (- 2 x^{2} + 9 x + 4) = - 2 x^{2} - 8 x + 14$ , soit $B^{'} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 x - 7 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ .
+0,5

💡 Le développement puis la factorisation par $- 2$ jusqu'à l'expression demandée par l'énoncé sont notés à ce stade précis du calcul.
6

Sur $[4; 5]$ , $x \geq 4$ donne $x^{2} \geq 16$ et $4 x \geq 16$ , donc $x^{2} + 4 x - 7 \geq 25 > 0$ ; comme $(x + 2)^{2} > 0$ , on obtient $B^{'} (x) < 0$ sur $[4; 5]$ , donc $B$ est strictement décroissante sur $[4; 5]$ .
+0,5

💡 Minorer le numérateur pour obtenir son signe, puis conclure sur le signe de $B^{'}$ et la stricte monotonie, est l'argument qui servira à l'unicité en question 3.
7

$B (4) = \frac{- 32 + 36 + 4}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ et $B (5) = \frac{- 50 + 45 + 4}{7} = \frac{- 1}{7}$ , donc $B (4) \times B (5) < 0$ .
+0,5

💡 Le calcul exact des images aux bornes, avec un signe opposé, fournit l'hypothèse d'existence du TVI : c'est un point de calcul sûr, indépendant du reste.
8

$B$ est continue et strictement décroissante sur $[4; 5]$ et $B (4) \times B (5) < 0$ , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $B (x) = 0$ admet une unique solution $α \in] 4; 5 [$ . Interprétation : $α$ est le niveau de production (en centaines d'unités) au-delà duquel l'entreprise devient déficitaire, c'est le seuil de rentabilité.
+0,5

💡 Assembler continuité, stricte monotonie et signes opposés en citant explicitement le TVI donne l'existence ET l'unicité en une seule phrase ; l'interprétation économique du seuil $α$ est systématiquement barémée en filière Éco.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Le correcteur de Sciences Éco note autant l'interprétation économique que le calcul : ne saute jamais les phrases de conclusion.

Pour la limite en $+ \infty$ , factorise par $x$ au numérateur ET au dénominateur avant de conclure : cette ligne est créditée même si tu te trompes sur le signe final.
Écris systématiquement une phrase d'interprétation économique après chaque résultat mathématique (« le bénéfice devient négatif », « seuil de rentabilité ») : c'est un point à part entière en filière Éco, jamais offert automatiquement par le calcul.
Pour la dérivée d'un quotient, pose $u$ , $v$ , $u^{'}$ , $v^{'}$ avant de développer : ces lignes rapportent même si le développement final est faux.
Pour le TVI, n'oublie aucune des trois briques : continuité + stricte monotonie + signes opposés aux bornes. Il en manque une seule et l'existence, voire l'unicité, n'est pas validée par le correcteur.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : « $B (x) \to - \infty$ » sans justification de calcul, dérivée donnée directement sans poser $u, v, u^{'}, v^{'}$ , et « $B (4) > 0$ , $B (5) < 0$ donc il existe $α$ » sans mentionner ni la continuité ni la stricte décroissance ni le mot « unique ». Cette copie perd la moitié des points : le résultat final est juste mais aucune hypothèse du TVI n'est explicitement justifiée, et il manque toute interprétation économique.

Version complète : on factorise $B (x) = x \times \frac{- 2 + \frac{9}{x} + \frac{4}{x ^{2}}}{1 + \frac{2}{x}} \to - \infty$ et on interprète (« produire trop ruine l'entreprise ») ; on justifie la continuité de $B$ comme quotient de polynômes ne s'annulant pas ; on calcule $B^{'} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 x - 7 )}{( x + 2 ) ^{2}}$ , on montre qu'il est négatif sur $[4; 5]$ ; on calcule $B (4) = \frac{4}{3}$ , $B (5) = - \frac{1}{7}$ et on conclut par le TVI à l'existence d'un unique $α$ , seuil de rentabilité de l'entreprise. Chaque théorème cité et chaque phrase d'interprétation économique rapportent leur point.

🕵️

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