📊 Logarithme népérien Question sur 4 pts

Étudier une fonction de coût avec un logarithme

Domaine, limites, dérivée et minimum d'une fonction de coût avec $\ln$ : où tombent les points, et comment l'interprétation économique rapporte à part.

📋 L'énoncé

Une entreprise fabrique un article. Le coût total de production, exprimé en milliers de dirhams, pour une quantité $x$ (en centaines d'articles) est modélisé par la fonction $C$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $C (x) = x - ln x + 1$ .

Calculer $x \to 0^{+} lim C (x)$ et $x \to + \infty lim C (x)$ .
Calculer $C^{'} (x)$ pour tout $x \in] 0; + \infty [$ , puis étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $C$ sur $] 0; + \infty [$ .
En déduire la quantité $x_{0}$ pour laquelle le coût de production est minimal, et donner ce coût minimal. Interpréter le résultat dans le contexte de l'entreprise.

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

$x \to 0^{+} lim x = 0$ et $x \to 0^{+} lim (- ln x) = + \infty$ , donc $x \to 0^{+} lim C (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 La limite en $0^{+}$ se lit directement sur $lim ln x = - \infty$ : aucune forme indéterminée, le point tombe si le résultat de cours sur $ln$ est connu.
2

$C (x) = x (1 - \frac{ln x}{x}) + 1$ et $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (croissances comparées), donc $x \to + \infty lim C (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 La limite en $+ \infty$ lève la forme indéterminée $\infty - \infty$ par les croissances comparées : citer $lim \frac{l n x}{x} = 0$ est l'argument attendu.
3

$C$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et $C^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
+0,5

💡 Le calcul de la dérivée est noté indépendamment de la suite : il est acquis même si l'étude du signe est ensuite ratée.
4

Comme $x > 0$ , le signe de $C^{'} (x)$ est celui de $x - 1$ : $C^{'} (x) < 0$ sur $] 0; 1 [$ et $C^{'} (x) > 0$ sur $] 1; + \infty [$ , avec $C^{'} (1) = 0$ .
+0,5

💡 On isole le facteur $x - 1$ car le dénominateur $x$ est positif : c'est ce point critique $x = 1$ qui structure tout le tableau.
5

Tableau de variations : $C$ décroissante sur $] 0; 1]$ de $+ \infty$ à $C (1)$ , puis croissante sur $[1; + \infty [$ de $C (1)$ à $+ \infty$ .
+0,5

💡 Le tableau synthétise limites, signe de $C^{'}$ et point critique ; bien présenté avec flèches et valeurs aux bornes, il rapporte son point même sans le calcul final de $C (1)$ .
6

$C$ admet un minimum en $x = 1$ , valant $C (1) = 1 - ln 1 + 1 = 1 - 0 + 1 = 2$ .
+0,5

💡 Calculer explicitement $ln 1 = 0$ puis la valeur $C (1) = 2$ est un point distinct du seul repérage du minimum sur le tableau.
7

Conclusion mathématique : le coût $C$ est minimal pour $x_{0} = 1$ , et ce minimum vaut $2$ .
+0,5

💡 La phrase de conclusion qui relie explicitement $x_{0} = 1$ et la valeur $2$ ferme la question 4 sur le plan mathématique.
8

Interprétation économique : pour une production de $x_{0} = 1$ centaine d'articles (soit $100$ articles), le coût total est minimal et vaut $2$ milliers de dirhams, soit $2000$ dh.
+0,5

💡 Le correcteur crédite à part la traduction du résultat mathématique dans le contexte de l'énoncé (unités, quantité concrète) : sans cette phrase, la question 4 n'est pas jugée complète en filière Éco.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Cette étude de fonction est très découpable : chaque étape se note indépendamment, et la question d'interprétation rapporte un point à elle seule, séparé du calcul.

Chaque limite rapporte seule : même si tu rates la limite en $+ \infty$ , celle en $0^{+}$ te donne son point. Traite-les une par une et cite toujours $x \to + \infty lim \frac{l n x}{x} = 0$ .
Le calcul de $C^{'} (x)$ est indépendant du signe : écris $C^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ proprement ; tu gardes ce point même si tu te trompes ensuite sur le signe.
Le tableau bien présenté est noté même sans la valeur exacte de $C (1)$ : flèches, limites aux bornes et point critique $x = 1$ suffisent à sécuriser ce point.
N'oublie jamais la phrase d'interprétation : « pour une production de $100$ articles, le coût est minimal et vaut $2000$ dh » est un point à part entière, distinct du calcul de $C (1) = 2$ .

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée : l'élève écrit directement « $C$ décroît puis croît, minimum en $1$ , $C (1) = 2$ » sans justifier les limites ni le signe de $C^{'}$ , et n'ajoute aucune phrase de contexte. Le correcteur ne peut créditer que le squelette du tableau et le calcul final : les points des deux limites, de la justification du signe et surtout de l'interprétation économique sont perdus, soit près de la moitié du barème.

Version complète : on calcule $x \to 0^{+} lim C (x) = + \infty$ et $x \to + \infty lim C (x) = + \infty$ (croissances comparées), on dérive $C^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ , on justifie son signe à partir de $x - 1$ (car $x > 0$ ), on dresse le tableau, on conclut $C (1) = 2$ , puis on ajoute la phrase : « pour une production de $100$ articles, le coût de production est minimal et s'élève à $2000$ dh ». C'est cette dernière phrase, souvent oubliée, qui distingue une copie de Sciences Éco complète d'une copie seulement « mathématiquement juste ».

🕵️

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