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Le chapitre Oscillations libres d'un circuit RLC série est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Oscillations libres d'un circuit RLC série fait partie du programme officiel de 2ème Bac au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Oscillations libres d'un circuit RLC série sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Oscillations libres d'un circuit RLC série sont accessibles gratuitement sur AtlasPC.

Oscillations libres d'un circuit RLC série — Résumé de cours

1ère Année Collège — AtlasPC.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. La décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine

Dans un circuit RC, la décharge d'un condensateur à travers un conducteur ohmique est monotone : la tension $u_{C} (t)$ décroît sans jamais changer de signe. Si l'on remplace le conducteur ohmique par une bobine d'inductance $L$ , le comportement change radicalement : la tension et le courant oscillent autour de zéro avant de s'amortir progressivement. Ce phénomène traduit un échange périodique d'énergie entre le condensateur (énergie électrique) et la bobine (énergie magnétique), analogue à l'échange entre énergie potentielle et énergie cinétique d'un pendule mécanique en oscillation libre.

2. Équation différentielle du circuit RLC série

Pour un circuit RLC série en décharge libre (sans générateur), on oriente le circuit avec le courant $i = \frac{d q}{d t}$ , où $q$ est la charge portée par l'armature du condensateur reliée au sens positif choisi. La loi des mailles donne $u_{C} - u_{R} - u_{L} = 0$ , avec $u_{C} = \frac{q}{C}$ , $u_{R} = R i$ et $u_{L} = L \frac{d i}{d t}$ . On obtient l'équation différentielle du second ordre, en charge :

$L \frac{d ^{2} q}{d t ^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = 0$

ou, de façon équivalente, en tension aux bornes du condensateur :

$\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + \frac{R}{L} \frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{L C} = 0$

3. Régime périodique libre : le cas idéal $R = 0$

Lorsque la résistance du circuit est négligeable, l'équation différentielle se réduit à $\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + ω_{0}^{2} u_{C} = 0$ , dont la solution est sinusoïdale : $u_{C} (t) = U_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ . La pulsation propre $ω_{0} = \frac{1}{L C}$ et la période propre $T_{0} = 2 π L C$ ne dépendent que des caractéristiques $L$ et $C$ du circuit, jamais des conditions initiales. Les oscillations sont dites libres et non amorties : l'amplitude reste constante indéfiniment.

4. Régime pseudo-périodique : $0 < R < R_{c}$

En pratique, tout circuit possède une résistance non nulle (fil, bobine, générateur). Les oscillations s'amortissent alors progressivement : la courbe $u_{C} (t)$ garde une allure quasi sinusoïdale mais son amplitude décroît selon une enveloppe exponentielle. On parle de régime pseudo-périodique, caractérisé par une pseudo-période $T$ légèrement supérieure à $T_{0}$ . Lorsque $R$ est faible devant la résistance critique $R_{c}$ , l'approximation $T \approx T_{0}$ reste valable et permet une mesure indirecte de $L$ ou de $C$ .

5. Régime apériodique et résistance critique

Au-delà d'une certaine résistance, appelée résistance critique $R_{c} = 2 \frac{L}{C}$ , le système ne peut plus osciller : la tension $u_{C} (t)$ retourne directement vers zéro sans changer de signe. Si $R = R_{c}$ , le régime est dit apériodique critique : c'est le retour à l'équilibre le plus rapide sans aucune oscillation, exploité par exemple dans l'amortissement des galvanomètres et des appareils de mesure analogiques. Si $R > R_{c}$ , le régime est apériodique : le retour à l'équilibre est plus lent.

6. Identification expérimentale des trois régimes

À l'oscilloscope, les trois régimes se distinguent aisément : le régime périodique donne une sinusoïde d'amplitude constante ; le régime pseudo-périodique donne une sinusoïde amortie dont l'enveloppe exponentielle décroît d'autant plus vite que $R$ est grand ; le régime apériodique ne présente aucune oscillation, seulement un retour progressif vers zéro, d'autant plus lent que $R$ est grand devant $R_{c}$ .

7. Étude énergétique du circuit RLC série

Le condensateur stocke une énergie électrique $E_{e} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ et la bobine une énergie magnétique $E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2}$ . L'énergie électromagnétique totale du circuit est $E_{T} = E_{e} + E_{m}$ . Dans le cas idéal $R = 0$ , cette énergie totale se conserve : elle est intégralement transférée entre condensateur et bobine à chaque quart de période, ce qui explique la pérennité des oscillations libres.

8. Amortissement : dissipation de l'énergie par effet Joule

Dès que $R \neq = 0$ , une partie de l'énergie électromagnétique est convertie en chaleur par effet Joule dans la résistance, avec $\frac{d E _{T}}{d t} = - R i^{2} \leq 0$ . L'énergie totale décroît donc au cours du temps, ce qui explique la diminution progressive de l'amplitude des oscillations en régime pseudo-périodique. Après un temps suffisamment long, toute l'énergie initialement stockée dans le condensateur est dissipée sous forme thermique et le circuit atteint l'état de repos $u_{C} = 0$ , $i = 0$ .

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Circuit LC idéal ( $R = 0$ )

On considère un circuit LC série idéal avec $L = 0, 1 H$ et $C = 10 μ F = 10 \times 1 0^{- 6} F$ . À l'instant initial, le condensateur est chargé sous une tension $U_{C 0} = 6 V$ , puis on ferme l'interrupteur (résistance totale négligeable).

Pulsation propre : $ω_{0} = \frac{1}{L C} = \frac{1}{0 , 1 \times 10 \times 1 0 ^{- 6}} = \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1000 rad.s^{- 1}$ .

Période propre : $T_{0} = 2 π L C = 2 π \times 1 0^{- 3} \approx 6, 28 \times 1 0^{- 3} s \approx 6, 28 ms$ .

Énergie initiale : $E_{e 0} = \frac{1}{2} C U_{C 0}^{2} = 0, 5 \times 10 \times 1 0^{- 6} \times 36 = 1, 8 \times 1 0^{- 4} J = 180 μ J$ .

Intensité maximale : comme $R = 0$ , l'énergie se conserve intégralement et se retrouve entièrement dans la bobine lorsque $u_{C} = 0$ : $\frac{1}{2} L I_{ma x}^{2} = E_{e 0}$ , soit $I_{ma x} = \frac{2 \times 1 , 8 \times 1 0 ^{- 4}}{0 , 1} = 3, 6 \times 1 0^{- 3} \approx 0, 06 A = 60 mA$ .

Exemple résolu 2 : Circuit RLC réel — régime et bilan énergétique

On considère un circuit RLC série avec $L = 2 H$ , $C = 0, 5 μ F = 0, 5 \times 1 0^{- 6} F$ et une résistance totale $R = 80 Ω$ . Le condensateur est initialement chargé sous $U_{C 0} = 8 V$ .

Résistance critique : $R_{c} = 2 \frac{L}{C} = 2 \frac{2}{0 , 5 \times 1 0 ^{- 6}} = 2 4 \times 1 0^{6} = 2 \times 2000 = 4000 Ω$ .

Régime : $R = 80 Ω ≪ R_{c} = 4000 Ω$ , donc le régime est pseudo-périodique, faiblement amorti, avec $T \approx T_{0}$ .

Pulsation et période propres : $ω_{0} = \frac{1}{L C} = \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1000 rad.s^{- 1}$ , soit $T_{0} = 2 π \times 1 0^{- 3} \approx 6, 28 ms$ .

Bilan énergétique : $E_{e 0} = \frac{1}{2} C U_{C 0}^{2} = 0, 5 \times 0, 5 \times 1 0^{- 6} \times 64 = 1, 6 \times 1 0^{- 5} J = 16 μ J$ . Aucune source n'alimentant le circuit après $t = 0$ , cette énergie initiale est intégralement dissipée par effet Joule dans $R$ lorsque le régime permanent de repos ( $u_{C} = 0$ , $i = 0$ ) est atteint : $E_{d i ss} = 16 μ J$ .

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

$L \frac{d ^{2} q}{d t ^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = 0$ — équation différentielle en charge ; $L$ en H, $R$ en Ω, $C$ en F, $q$ en C.
$\frac{d ^{2} u _{C}}{d t ^{2}} + \frac{R}{L} \frac{d u _{C}}{d t} + \frac{u _{C}}{L C} = 0$ — équation différentielle équivalente en tension $u_{C}$ , en V.
$ω_{0} = \frac{1}{L C}$ — pulsation propre du circuit, en rad.s $^{- 1}$ .
$T_{0} = 2 π L C$ — période propre du circuit, en s.
$u_{C} (t) = U_{m} cos (ω_{0} t + φ)$ — solution en régime périodique idéal ( $R = 0$ ) ; $U_{m}$ en V.
$R_{c} = 2 \frac{L}{C}$ — résistance critique du circuit, en Ω.
Régime périodique : $R = 0$ (oscillations non amorties, amplitude constante).
Régime pseudo-périodique : $0 < R < R_{c}$ (oscillations amorties, $T \approx T_{0}$ si $R ≪ R_{c}$ ).
Régime apériodique : $R \geq R_{c}$ (aucune oscillation ; critique si $R = R_{c}$ ).
$E_{e} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2}$ — énergie électrique stockée dans le condensateur, en J.
$E_{m} = \frac{1}{2} L i^{2}$ — énergie magnétique stockée dans la bobine, en J.
$E_{T} = E_{e} + E_{m}$ — énergie électromagnétique totale du circuit, en J ; constante si $R = 0$ .
$\frac{d E _{T}}{d t} = - R i^{2}$ — puissance dissipée par effet Joule dans la résistance, en W.
$i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d u _{C}}{d t}$ — relation entre intensité, charge et tension ; $i$ en A.

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Pièges fréquents à éviter

Confondre pseudo-période et période propre : $T$ est mesurée expérimentalement sur un circuit réel amorti, tandis que $T_{0} = 2 π L C$ est une grandeur théorique calculée à partir de $L$ et $C$ seuls. Elles ne sont proches que si $R ≪ R_{c}$ ; ne jamais écrire $T = T_{0}$ de façon systématique.
Erreur de signe dans la loi des mailles : en décharge libre, le condensateur joue le rôle de générateur ( $u_{C} - u_{R} - u_{L} = 0$ ). Une inversion de signe change complètement la forme de l'équation différentielle et invalide tout le raisonnement qui suit.
Croire que l'énergie totale $E_{T}$ se conserve toujours : ce n'est vrai que si $R = 0$ . Dès qu'une résistance existe dans le circuit (même celle de la bobine ou des fils), $E_{T}$ décroît par effet Joule.
Confondre les conditions de régime : $R < R_{c}$ donne un régime pseudo-périodique (oscillations visibles), $R \geq R_{c}$ donne un régime apériodique (aucune oscillation). Toujours calculer $R_{c} = 2 L / C$ avant de conclure.
Erreurs d'unités : convertir systématiquement en unités SI ( $L$ en H, $C$ en F, $R$ en Ω) avant tout calcul de $ω_{0}$ , $T_{0}$ ou $R_{c}$ ; une capacité laissée en µF fausse le résultat d'un facteur $1 0^{6}$ .
Confondre oscillations libres et oscillations entretenues : dans ce chapitre, aucun générateur n'alimente le circuit après la charge initiale du condensateur ; l'amortissement est donc inévitable dès que $R \neq = 0$ , contrairement à un régime forcé par un générateur sinusoïdal.

Oscillations libres d'un circuit RLC série — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

3 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Oscillations libres dans un circuit LC idéal

Facile

Énoncé

Un circuit LC série idéal comporte une bobine d'inductance

L = 0, 2 H

et un condensateur de capacité

C = 5 μ F

, chargé initialement sous une tension

U_{C 0} = 10 V

. On ferme l'interrupteur à

t = 0

; la résistance totale du circuit est négligeable (

R = 0

). 1) Écrire l'équation différentielle vérifiée par

u_{C} (t)

. 2) Calculer la pulsation propre

ω_{0}

et la période propre

T_{0}

du circuit. 3) Calculer l'intensité maximale

I_{ma x}

atteinte dans le circuit au cours des oscillations.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

1 exercices

Identification du régime et bilan énergétique d'un circuit RLC

Intermédiaire

Énoncé

Un circuit RLC série comporte une bobine d'inductance

L = 0, 5 H

, un condensateur de capacité

C = 2 μ F

, et une résistance totale

R = 50 Ω

. Le condensateur est initialement chargé sous une tension

U_{C 0} = 12 V

. 1) Calculer la résistance critique

R_{c}

du circuit et la comparer à

R

. En déduire la nature du régime des oscillations. 2) Calculer la pulsation propre

ω_{0}

et la période propre

T_{0}

du circuit. 3) Un relevé expérimental à l'oscilloscope donne une pseudo-période

T = 6, 3 ms

. Commenter la cohérence de ce résultat avec

T_{0}

. 4) Calculer l'énergie électrique initialement stockée dans le condensateur. En déduire l'énergie totale finalement dissipée par effet Joule dans

R

lorsque le circuit atteint l'état de repos.

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Comparaison des trois régimes et application à l'amortissement d'un appareil de mesure

Difficile

Énoncé

Un circuit RLC série est constitué d'une bobine d'inductance

L = 1 H

et d'un condensateur de capacité

C = 1 μ F

. On étudie la décharge libre du condensateur pour trois valeurs différentes de la résistance totale du circuit :

R_{1} = 100 Ω

R_{2} = 2000 Ω

R_{3} = 5000 Ω

. 1) Calculer la résistance critique

R_{c}

de ce circuit. 2) Pour chacune des valeurs

R_{1}

R_{2}

R_{3}

, préciser la nature du régime d'oscillation observé et justifier. 3) Calculer la pulsation propre

ω_{0}

et la période propre

T_{0}

de ce circuit. 4) Pour

R_{1}

, la pseudo-période reste très proche de

T_{0}

. Sachant que le condensateur est initialement chargé sous

U_{C 0} = 15 V

(avec

i (0) = 0

), calculer l'énergie électromagnétique initiale du circuit. 5) On souhaite utiliser ce type de circuit pour amortir rapidement, sans oscillation parasite, l'aiguille d'un appareil de mesure analogique. Quelle valeur de résistance choisir parmi

R_{1}

R_{2}

R_{3}

, et pourquoi ?

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

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Oscillations libres d'un circuit RLC série

Oscillations libres d'un circuit RLC série — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. La décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine

2. Équation différentielle du circuit RLC série

3. Régime périodique libre : le cas idéal $R = 0$

4. Régime pseudo-périodique : $0 < R < R_{c}$

5. Régime apériodique et résistance critique

6. Identification expérimentale des trois régimes

7. Étude énergétique du circuit RLC série

8. Amortissement : dissipation de l'énergie par effet Joule

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Circuit LC idéal ( $R = 0$ )

Exemple résolu 2 : Circuit RLC réel — régime et bilan énergétique

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

Astuces & Pièges à éviter

Pièges fréquents à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un circuit RLC série

Méthode 2 : Identifier le régime d'oscillation à partir de R

Méthode 3 : Exploiter le bilan énergétique du circuit

Méthode 4 : Déterminer $L$ ou $C$ à partir d'une pseudo-période mesurée

Oscillations libres d'un circuit RLC série — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Oscillations libres dans un circuit LC idéal

Exercices Intermédiaires

Identification du régime et bilan énergétique d'un circuit RLC

Exercices Difficiles

Comparaison des trois régimes et application à l'amortissement d'un appareil de mesure

Exercices supplémentaires

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

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1. La décharge oscillante d'un condensateur dans une bobine

2. Équation différentielle du circuit RLC série

3. Régime périodique libre : le cas idéal R=0

4. Régime pseudo-périodique : 0<R<Rc​

5. Régime apériodique et résistance critique

6. Identification expérimentale des trois régimes

7. Étude énergétique du circuit RLC série

8. Amortissement : dissipation de l'énergie par effet Joule

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Circuit LC idéal (R=0)

Exemple résolu 2 : Circuit RLC réel — régime et bilan énergétique

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

Astuces & Pièges à éviter

Pièges fréquents à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Établir l'équation différentielle d'un circuit RLC série

Méthode 2 : Identifier le régime d'oscillation à partir de R

Méthode 3 : Exploiter le bilan énergétique du circuit

Méthode 4 : Déterminer L ou C à partir d'une pseudo-période mesurée

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Questions fréquentes

Pour aller plus loin

3. Régime périodique libre : le cas idéal $R = 0$

4. Régime pseudo-périodique : $0 < R < R_{c}$

Exemple résolu 1 : Circuit LC idéal ( $R = 0$ )

Méthode 4 : Déterminer $L$ ou $C$ à partir d'une pseudo-période mesurée