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Le chapitre Dipôle RL est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Dipôle RL fait partie du programme officiel de 2ème Bac au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Dipôle RL sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Dipôle RL sont accessibles gratuitement sur AtlasPC.

Dipôle RL — Résumé de cours

1ère Année Collège — AtlasPC.ma

Cours complet

Contenu du cours

1. La bobine

Une bobine est un dipôle électrique constitué d'un enroulement de fil conducteur, souvent autour d'un noyau. Elle est caractérisée par deux grandeurs : son inductance $L$ , exprimée en henry (H), qui traduit son aptitude à s'opposer aux variations du courant qui la traverse, et sa résistance interne $r$ , exprimée en ohms (Ω), due à la résistance du fil qui la constitue. Le symbole normalisé d'une bobine réelle associe une inductance $L$ en série avec une résistance $r$ . Lorsque $r$ est négligeable, on parle de bobine idéale ou pure.

2. Le phénomène d'auto-induction

Lorsque le courant $i (t)$ qui traverse une bobine varie au cours du temps, le flux du champ magnétique qu'elle crée à travers ses propres spires varie également. D'après la loi de Faraday, cette variation de flux fait naître une force électromotrice induite $e$ , appelée f.é.m. d'auto-induction, qui s'oppose à la cause qui lui donne naissance (loi de Lenz) :

$e = - L \frac{d i}{d t}$

Ce phénomène, appelé auto-induction, explique pourquoi une bobine s'oppose à toute variation brusque du courant qui la traverse : le courant électrique dans une bobine ne peut subir de discontinuité.

3. Tension aux bornes d'une bobine

En convention récepteur, la tension instantanée $u_{L} (t)$ aux bornes d'une bobine réelle d'inductance $L$ et de résistance $r$ , parcourue par un courant $i (t)$ , s'écrit :

$u_{L} (t) = L \frac{d i}{d t} + r i (t)$

Pour une bobine idéale ( $r = 0$ ), cette relation se simplifie en $u_{L} (t) = L \frac{d i}{d t}$ . Contrairement au courant, qui reste toujours continu, la tension $u_{L} (t)$ peut subir une discontinuité, en particulier à l'instant de fermeture ou d'ouverture d'un interrupteur.

4. Établissement du courant dans un dipôle RL

On considère un circuit série comportant un générateur idéal de f.é.m. $E$ , un conducteur ohmique de résistance $R$ et une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ . À la fermeture de l'interrupteur, à l'instant $t = 0$ , la loi d'additivité des tensions (loi des mailles) donne :

$E = (R + r) i (t) + L \frac{d i}{d t}$

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, d'inconnue $i (t)$ , qui régit l'établissement progressif du courant dans le circuit RL.

5. Résolution : régime transitoire et régime permanent

Avec la condition initiale $i (0) = 0$ (continuité du courant), la solution de cette équation s'écrit :

$i (t) = I_{0} (1 - e^{- t / τ}) avec I_{0} = \frac{E}{R + r} et τ = \frac{L}{R + r}$

Pendant le régime transitoire, le courant croît progressivement depuis $0$ . Après un temps suffisamment long, pratiquement $t \geq 5 τ$ , le courant atteint sa valeur limite $I_{0}$ : c'est le régime permanent, pour lequel $\frac{d i}{d t} = 0$ et la bobine se comporte comme un simple conducteur de résistance $r$ .

6. La constante de temps τ

Le paramètre $τ = \frac{L}{R + r}$ , homogène à un temps et exprimé en secondes (s), caractérise la rapidité de la réponse du dipôle RL : plus $τ$ est petit, plus le régime permanent est atteint rapidement. On la détermine expérimentalement de deux façons : par la méthode de la tangente à l'origine, qui coupe l'asymptote $i = I_{0}$ à l'instant $t = τ$ , ou par la méthode des 63 %, car $i (τ) = I_{0} (1 - e^{- 1}) \approx 0, 63 I_{0}$ .

7. Rupture du courant dans un dipôle RL

Lorsqu'on supprime le générateur en refermant le circuit RL sur lui-même, le courant initial vaut $I_{0} = \frac{E}{R + r}$ et la nouvelle équation différentielle, sans f.é.m., devient :

$(R + r) i (t) + L \frac{d i}{d t} = 0$

La solution, avec la même constante de temps $τ = \frac{L}{R + r}$ , est une décroissance exponentielle :

$i (t) = I_{0} e^{- t / τ}$

Le courant décroît progressivement vers zéro sans jamais s'annuler brusquement : la bobine restitue au circuit l'énergie qu'elle avait emmagasinée pendant l'établissement du courant.

8. Énergie emmagasinée dans une bobine

Une bobine parcourue par un courant $i$ emmagasine de l'énergie sous forme magnétique. Cette énergie, exprimée en joules (J), est donnée par :

$E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}$

C'est cette énergie stockée qui est restituée au circuit, puis dissipée par effet Joule dans les résistances, lors de la phase de rupture du courant. Le dipôle RL trouve de nombreuses applications pratiques : bobine d'allumage automobile, circuits de protection contre les surtensions, filtrage du courant dans les alimentations électriques.

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Établissement du courant dans un dipôle RL

Un circuit série comprend un générateur idéal de f.é.m. $E = 12 V$ , un conducteur ohmique de résistance $R = 100 Ω$ et une bobine idéale (résistance interne négligeable) d'inductance $L = 0, 5 H$ . On ferme l'interrupteur à $t = 0$ .

Constante de temps : $τ = \frac{L}{R} = \frac{0 , 5}{100} = 5, 0 \times 1 0^{- 3} s = 5 ms$ .

Courant limite : $I_{0} = \frac{E}{R} = \frac{12}{100} = 0, 12 A = 120 mA$ .

Courant à $t = τ$ : $i (τ) = I_{0} (1 - e^{- 1}) = 120 \times (1 - 0, 368) \approx 75, 8 mA$ .

Tension aux bornes de la bobine à $t = 0^{+}$ : puisque $i (0^{+}) = 0$ , toute la tension du générateur se retrouve aux bornes de la bobine : $u_{L} (0^{+}) = E = 12 V$ . Elle décroît ensuite selon $u_{L} (t) = E e^{- t / τ}$ , si bien qu'à $t = τ$ , $u_{L} (τ) = 12 \times 0, 368 \approx 4, 42 V$ .

Exemple résolu 2 : Rupture du courant et bilan énergétique

Le même dipôle RL ( $R = 100 Ω$ , $L = 1 H$ , générateur $E = 10 V$ ) a atteint son régime permanent, puis on court-circuite brusquement le générateur à un nouvel instant $t = 0$ .

Courant initial de la décharge : $I_{0} = \frac{E}{R} = \frac{10}{100} = 0, 1 A = 100 mA$ .

Constante de temps : $τ = \frac{L}{R} = \frac{1}{100} = 10 \times 1 0^{- 3} s = 10 ms$ .

Courant à $t = τ = 10 ms$ : $i (τ) = I_{0} e^{- 1} = 100 \times 0, 368 \approx 36, 8 mA$ .

Courant à $t = 3 τ = 30 ms$ : $i (3 τ) = 100 \times e^{- 3} = 100 \times 0, 0498 \approx 5, 0 mA$ , soit environ $95%$ du courant déjà dissipé.

Énergie initialement stockée : $E_{L} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 1 \times (0, 1)^{2} = 5, 0 \times 1 0^{- 3} J = 5 mJ$ . Cette énergie est intégralement dissipée par effet Joule dans $R$ au cours de la décroissance du courant.

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

$u_{L} (t) = L \frac{d i}{d t} + r i (t)$ — tension aux bornes d'une bobine réelle, convention récepteur ; $L$ en H, $r$ en Ω, $i$ en A, $u_{L}$ en V.
$e = - L \frac{d i}{d t}$ — f.é.m. d'auto-induction.
$E = (R + r) i (t) + L \frac{d i}{d t}$ — équation différentielle de l'établissement du courant dans un dipôle RL.
$i (t) = I_{0} (1 - e^{- t / τ})$ avec $I_{0} = \frac{E}{R + r}$ — expression du courant lors de l'établissement.
$τ = \frac{L}{R + r}$ — constante de temps du dipôle RL ; $L$ en H, $R + r$ en Ω, $τ$ en s.
$(R + r) i (t) + L \frac{d i}{d t} = 0$ — équation différentielle de la rupture du courant (sans f.é.m.).
$i (t) = I_{0} e^{- t / τ}$ — expression du courant lors de la rupture (décroissance).
$u_{L} (0^{+}) = E$ — valeur de la tension aux bornes d'une bobine idéale juste après la fermeture, alors que $i (0^{+}) = 0$ : discontinuité de $u_{L}$ , continuité de $i$ .
$i (τ) \approx 0, 63 I_{0}$ à l'établissement, et $i (τ) \approx 0, 37 I_{0}$ à la rupture — méthode des 63 %.
$t \geq 5 τ \Rightarrow i (t) \approx I_{0}$ (établissement) ou $i (t) \approx 0$ (rupture) — critère pratique du régime permanent.
$E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}$ — énergie magnétique emmagasinée dans une bobine ; $L$ en H, $i$ en A, $E_{L}$ en J.
$1 H = 1 Ω \cdot s$ — relation entre les unités d'inductance, de résistance et de temps.

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Pièges fréquents à éviter

Confondre continuité du courant et continuité de la tension : c'est le courant $i (t)$ qui est toujours continu à travers une bobine, jamais $u_{L} (t)$ , qui peut au contraire subir un saut brutal (par exemple $u_{L}$ passe de $0$ à $E$ à la fermeture d'un interrupteur si $r = 0$ ).
Oublier la résistance interne $r$ de la bobine : si l'énoncé la mentionne, il faut impérativement l'inclure dans $I_{0} = E / (R + r)$ et $τ = L / (R + r)$ , sous peine d'erreurs systématiques sur les valeurs numériques.
Confondre les deux régimes (établissement et rupture) : l'établissement suit une croissance en $1 - e^{- t / τ}$ partant de $0$ , la rupture suit une décroissance en $e^{- t / τ}$ partant de $I_{0}$ ; ne pas intervertir les deux expressions.
Croire que le régime permanent est atteint à $t = τ$ : ce n'est qu'à $t = τ$ que $63%$ de $I_{0}$ est atteint ; le régime permanent n'est considéré comme établi qu'à partir de $t \approx 5 τ$ (soit $99, 3%$ de $I_{0}$ ).
Erreurs d'unités : toujours vérifier que $L$ est en henry (H), $R$ et $r$ en ohms (Ω), et que le rapport $L / (R + r)$ est bien homogène à une durée en secondes (s) avant de l'utiliser dans une exponentielle.
Utiliser $I_{0}$ au lieu de $i (t)$ dans le calcul d'énergie : la formule $E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}$ utilise la valeur instantanée du courant à l'instant considéré ; elle ne vaut $\frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ qu'en régime permanent, une fois le courant stabilisé.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthode 1 : Établir et résoudre l'équation différentielle d'un circuit RL (établissement du courant)

Étape 1. Représenter le circuit et orienter le courant $i (t)$ ; repérer le générateur $E$ , la résistance totale ( $R$ du conducteur ohmique + $r$ de la bobine) et l'inductance $L$ .

Étape 2. Appliquer la loi des mailles en convention récepteur pour obtenir $E = (R + r) i (t) + L \frac{d i}{d t}$ .

Étape 3. Reconnaître la forme canonique et écrire directement la solution $i (t) = I_{0} (1 - e^{- t / τ})$ avec $I_{0} = E / (R + r)$ et $τ = L / (R + r)$ , sans redémontrer l'intégration à chaque fois (résultat du cours).

Étape 4. Vérifier la cohérence : $i (0) = 0$ et $i (t \to \infty) = I_{0}$ .

Méthode 2 : Déterminer τ graphiquement à partir d'un oscillogramme

Étape 1. Repérer l'asymptote horizontale $i = I_{0}$ sur la courbe $i (t)$ .

Étape 2. Tracer la tangente à la courbe à l'origine ( $t = 0$ ) : son intersection avec l'asymptote $i = I_{0}$ donne l'abscisse $t = τ$ .

Étape 3 (vérification). Repérer sur l'axe des ordonnées la valeur $0, 63 I_{0}$ : l'abscisse du point de la courbe ayant cette ordonnée doit coïncider avec $τ$ .

Étape 4. En déduire $L$ à partir de $τ = L / (R + r)$ si $R + r$ est connu, ou inversement $R + r$ si $L$ est connu.

Méthode 3 : Étudier la phase de rupture du courant

Étape 1. Identifier la valeur initiale $I_{0}$ du courant, égale à la valeur atteinte en régime permanent avant l'ouverture (continuité du courant).

Étape 2. Écrire l'équation différentielle sans f.é.m. : $(R + r) i (t) + L \frac{d i}{d t} = 0$ , et sa solution $i (t) = I_{0} e^{- t / τ}$ .

Étape 3. Pour trouver l'instant où le courant atteint une fraction donnée $k$ de $I_{0}$ , résoudre $e^{- t / τ} = k$ , soit $t = - τ ln (k)$ .

Méthode 4 : Effectuer un bilan énergétique

Étape 1. Calculer l'énergie stockée en régime permanent : $E_{L} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ .

Étape 2. Comprendre que cette énergie provient du générateur pendant l'établissement du courant, une partie étant dissipée par effet Joule dans $R$ et $r$ .

Étape 3. Lors de la rupture, cette même énergie $E_{L}$ est intégralement restituée au circuit et dissipée par effet Joule dans les résistances (la bobine ne consomme ni ne crée d'énergie, elle la stocke puis la restitue).

Dipôle RL — Fiche d'exercices

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Exercices interactifs

3 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Établissement du courant dans un dipôle RL simple

Facile

Énoncé

Un circuit série comprend un générateur idéal de f.é.m.

E = 6 V

, un conducteur ohmique de résistance

R = 60 Ω

et une bobine idéale d'inductance

L = 0, 3 H

(résistance interne négligeable). On ferme l'interrupteur à l'instant

t = 0

. 1) Calculer la constante de temps

τ

du dipôle. 2) Calculer l'intensité limite

I_{0}

atteinte en régime permanent. 3) Calculer l'intensité du courant à l'instant

t = 5 ms

Ma réponse

Prof Hicham

Bloqué sur cet exercice ?
Prof Hicham t'explique pas à pas.

Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

1 exercices

Exploitation d'un oscillogramme pour déterminer l'inductance

Intermédiaire

Énoncé

Lors de l'établissement du courant dans un dipôle RL, un oscilloscope permet de relever la constante de temps

τ = 2 ms

par la méthode de la tangente à l'origine. Le conducteur ohmique du circuit a pour résistance

R = 1, 0 k Ω

et la bobine, idéale, est alimentée par un générateur de f.é.m.

E = 5 V

. 1) Déterminer l'inductance

L

de la bobine. 2) Calculer l'intensité limite

I_{0}

en régime permanent. 3) Calculer l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en régime permanent. 4) On coupe ensuite le générateur en court-circuitant le dipôle RL : calculer la durée nécessaire pour que le courant descende à la moitié de

I_{0}

Ma réponse

Prof Hicham

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Détermination complète des caractéristiques d'une bobine réelle

Difficile

Énoncé

Un dipôle RL est constitué d'un conducteur ohmique

R_{0} = 20 Ω

en série avec une bobine réelle d'inductance

L

et de résistance interne

r

(inconnues), le tout alimenté par un générateur idéal de f.é.m.

E = 12 V

. L'étude expérimentale de l'établissement du courant, à la fermeture de l'interrupteur, montre que le régime permanent correspond à une intensité

I_{0} = 200 mA

, et que la constante de temps, mesurée par la méthode de la tangente à l'origine, vaut

τ = 4 ms

. 1) Déterminer la résistance interne

r

de la bobine. 2) En déduire l'inductance

L

de la bobine. 3) Calculer l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en régime permanent. 4) On ouvre ensuite l'interrupteur en supprimant le générateur, le circuit RL restant fermé sur lui-même (même résistance totale, donc même

τ

). Calculer la durée nécessaire pour que le courant descende à

10%

de sa valeur initiale

I_{0}

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Dipôle RL

Dipôle RL — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

1. La bobine

2. Le phénomène d'auto-induction

3. Tension aux bornes d'une bobine

4. Établissement du courant dans un dipôle RL

5. Résolution : régime transitoire et régime permanent

6. La constante de temps τ

7. Rupture du courant dans un dipôle RL

8. Énergie emmagasinée dans une bobine

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Établissement du courant dans un dipôle RL

Exemple résolu 2 : Rupture du courant et bilan énergétique

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

Astuces & Pièges à éviter

Pièges fréquents à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Établir et résoudre l'équation différentielle d'un circuit RL (établissement du courant)

Méthode 2 : Déterminer τ graphiquement à partir d'un oscillogramme

Méthode 3 : Étudier la phase de rupture du courant

Méthode 4 : Effectuer un bilan énergétique

Dipôle RL — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

Établissement du courant dans un dipôle RL simple

Exercices Intermédiaires

Exploitation d'un oscillogramme pour déterminer l'inductance

Exercices Difficiles

Détermination complète des caractéristiques d'une bobine réelle

Exercices supplémentaires

Questions fréquentes

Pour aller plus loin

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1. La bobine

2. Le phénomène d'auto-induction

3. Tension aux bornes d'une bobine

4. Établissement du courant dans un dipôle RL

5. Résolution : régime transitoire et régime permanent

6. La constante de temps τ

7. Rupture du courant dans un dipôle RL

8. Énergie emmagasinée dans une bobine

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Établissement du courant dans un dipôle RL

Exemple résolu 2 : Rupture du courant et bilan énergétique

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

Astuces & Pièges à éviter

Pièges fréquents à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Établir et résoudre l'équation différentielle d'un circuit RL (établissement du courant)

Méthode 2 : Déterminer τ graphiquement à partir d'un oscillogramme

Méthode 3 : Étudier la phase de rupture du courant

Méthode 4 : Effectuer un bilan énergétique

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