1. Le régime sinusoïdal forcé et le générateur basse fréquence (GBF)

Un circuit RLC série est constitué d'un conducteur ohmique de résistance $R$, d'une bobine d'inductance $L$ et d'un condensateur de capacité $C$, associés en série avec un générateur basse fréquence (GBF) qui impose une tension sinusoïdale $u(t)=U_m\cos (\omega t)$, de pulsation $\omega =2\pi N$ réglable ($N$ étant la fréquence en Hz). On dit que le circuit fonctionne en régime sinusoïdal forcé : c'est le générateur, et non le circuit, qui impose la fréquence des oscillations. Après un bref régime transitoire, le courant s'établit sous forme sinusoïdale, de même pulsation $\omega$ que la tension, mais généralement déphasé : $i(t)=I_m\cos (\omega t-\phi )$.

2. Impédance du dipôle RLC série

À l'aide de la construction de Fresnel ou de la notation complexe, on montre que les amplitudes de la tension et du courant sont reliées par une relation analogue à la loi d'Ohm : $U_m=Z\times I_m$, où $Z$ est l'impédance du dipôle, homogène à une résistance et exprimée en ohms ($\Omega$). Pour un circuit RLC série, l'impédance s'écrit :

$$Z=\sqrt{R^2+{\left(L\omega -\frac{1}{C\omega }\right)}^2}$$

Le terme $X=L\omega -\frac{1}{C\omega }$ est appelé la réactance du circuit : il traduit l'effet combiné, souvent antagoniste, de la bobine (qui s'oppose aux variations rapides du courant) et du condensateur (qui s'oppose aux variations rapides de tension).

3. Évolution de l'impédance avec la fréquence

L'impédance $Z(\omega )$ dépend fortement de la pulsation imposée par le GBF. Lorsque $\omega$ est faible, le terme $\frac{1}{C\omega }$ domine : le circuit se comporte de façon capacitive. Lorsque $\omega$ est élevée, c'est le terme $L\omega$ qui domine : le circuit se comporte de façon inductive. Entre ces deux régimes existe une pulsation particulière ${\omega }_0$ pour laquelle les effets de $L$ et de $C$ se compensent exactement, rendant l'impédance minimale et égale à $R$ seul.

4. Déphasage entre la tension et le courant

Le déphasage $\phi ={\phi }_u-{\phi }_i$ de la tension par rapport au courant vérifie :

$$\tan (\phi )=\frac{L\omega -\frac{1}{C\omega }}{R}$$

Trois cas se présentent. Si $L\omega >\frac{1}{C\omega }$, alors $\phi >0$ : le circuit est inductif, la tension est en avance sur le courant. Si $L\omega <\frac{1}{C\omega }$, alors $\phi <0$ : le circuit est capacitif, le courant est en avance sur la tension. Si $L\omega =\frac{1}{C\omega }$, alors $\phi =0$ : la tension et le courant sont en phase, c'est la condition de résonance.

5. La résonance d'intensité

Pour une amplitude de tension $U_m$ fixée, l'intensité $I_m=\frac{U_m}{Z}$ est maximale lorsque l'impédance $Z$ est minimale, c'est-à-dire lorsque la réactance s'annule : $L{\omega }_0=\frac{1}{C{\omega }_0}$. On en déduit la pulsation propre de résonance :

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\text{soit}{N}_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

À cette pulsation, l'impédance vaut simplement $Z_{min}=R$ et l'intensité atteint sa valeur maximale $I_{m,max}=\frac{U_m}{R}$. Le courant est alors en phase avec la tension du générateur ($\phi =0$). Fait remarquable : les tensions aux bornes de $L$ et de $C$ peuvent alors dépasser largement la tension du générateur, phénomène appelé surtension.

6. Bande passante à $-3\text{dB}$

La bande passante est l'intervalle $[{\omega }_1,{\omega }_2]$ où l'intensité efficace reste supérieure ou égale à $\frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$. Sa largeur s'exprime par :

$$\Delta \omega ={\omega }_2-{\omega }_1=\frac{R}{L}$$

La bande passante est d'autant plus étroite (résonance aiguë et sélective) que la résistance $R$ du circuit est faible.

7. Facteur de qualité $Q$

Le facteur de qualité caractérise la sélectivité de la résonance. Il est défini par le rapport :

$$Q=\frac{{\omega }_0}{\Delta \omega }=\frac{L{\omega }_0}{R}=\frac{1}{RC{\omega }_0}$$

Un facteur de qualité élevé ($Q\gg 1$) correspond à une résonance très sélective (bande passante étroite) mais aussi à une surtension importante : au maximum de résonance, $U_{L,max}=U_{C,max}\approx Q\times U_m$. Un facteur de qualité faible correspond à une résonance amortie et peu sélective.

8. Bilan énergétique en régime sinusoïdal forcé

En régime sinusoïdal forcé, seule la résistance $R$ dissipe de l'énergie par effet Joule ; la bobine et le condensateur échangent de l'énergie avec le générateur sans en consommer en moyenne. La puissance moyenne fournie par le générateur s'écrit $P_{moy}=U_{eff}\times I_{eff}\times \cos (\phi )=R\times I_{eff}^2$, où $\cos (\phi )$ est le facteur de puissance, maximal (égal à 1) à la résonance.