Seuil de rentabilité : quantité confondue avec chiffre d'affaires

Une entreprise a une fonction de recette $R(x)=80x$ et une fonction de cout $C(x)=40x+12000$, où $x$ est la quantité produite et vendue (en unités) et les montants sont en dirhams. Le seuil de rentabilité (point mort) est la quantité $x_0$ pour laquelle le bénéfice $B(x)=R(x)-C(x)$ s'annule : $B(x)=80x-(40x+12000)=40x-12000$. On résout $40x_0-12000=0$, soit $x_0=\frac{12000}{40}=300$. L'entreprise atteint donc la rentabilité à partir de 300 unités vendues.

L'erreur classique : au lieu de répondre « $x_0=300$ unités », l'élève calcule $R(300)=80\times 300=24000$ Dh (ou $C(300)=40\times 300+12000=24000$ Dh, les deux coïncident bien au point mort) et répond « le seuil de rentabilité est 24 000 Dh ». C'est faux si la question demande la quantité : 300 et 24 000 sont deux nombres différents, sur deux échelles différentes (unités produites contre dirhams), et l'un ne remplace pas l'autre. À l'inverse, si l'énoncé demande le chiffre d'affaires minimal à réaliser pour être rentable, répondre « 300 » au lieu de « 24 000 Dh » est tout aussi faux. Il faut toujours relire précisément ce que l'énoncé demande.

Réflexe à adopter : dès que l'énoncé mentionne « seuil de rentabilité » ou « point mort », souligner immédiatement l'unité demandée (quantité en unités, ou montant en dirhams) avant de commencer les calculs, et annoter chaque résultat intermédiaire avec son unité.

• Relire la question : demande-t-on $x_0$ (nombre d'unités) ou $R(x_0)$ / $C(x_0)$ (montant en Dh) ?
• Résoudre $B(x)=0$ pour obtenir $x_0$, c'est la quantité — jamais un montant en dirhams.
• Si le montant est demandé, calculer séparément $R(x_0)$ (ou $C(x_0)$, les deux sont égaux au seuil) après avoir trouvé $x_0$.
• Toujours écrire l'unité à côté de chaque nombre : « $x_0=300$ unités » et « $R(x_0)=24000$ Dh » ne doivent jamais être interchangés.
• Vérifier par un ordre de grandeur : une quantité d'articles et un montant en dirhams n'ont presque jamais la même valeur numérique, sauf coïncidence — la confusion doit sauter aux yeux si on compare les unités.

Dans les épreuves du Bac Sciences Économiques marocain, les exercices sur l'étude de fonctions économiques (recette, coût, bénéfice) demandent très souvent, en plusieurs sous-questions distinctes, à la fois la quantité $x_0$ du seuil de rentabilité et le chiffre d'affaires ou le bénéfice correspondant. Le barème attribue des points séparés à chaque réponse : donner 24 000 Dh à la question « déterminer la quantité $x_0$ à partir de laquelle l'entreprise réalise un bénéfice » fait perdre les points de cette sous-question, même si le calcul intermédiaire de $R(x_0)$ est juste et utile ailleurs. Les correcteurs sanctionnent aussi l'absence d'unité (« unités » ou « Dh ») à côté du résultat final, car c'est justement ce qui permet de vérifier que le candidat a compris la différence entre quantité et montant.