Trigonométrie 1BAC SM

Étape 1 — Factorisation de $\sin (2x)-\sin (x)$

On utilise l'identité $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ :

$$\sin (2x)-\sin (x)=2\sin (x)\cos (x)-\sin (x)$$

On factorise par $\sin (x)$ :

$$=\sin (x)(2\cos (x)-1)$$

L'équation $(E)$ est donc équivalente à :

$$\sin (x)(2\cos (x)-1)=0$$

Étape 2 — Résolution de $(E)$ sur $[0,2\pi [$

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On distingue deux cas :

Cas 1 : $\sin (x)=0$

Sur $[0,2\pi [$, les solutions sont $x=0$ et $x=\pi$.

Cas 2 : $2\cos (x)-1=0⟺\cos (x)=\frac{1}{2}$

Sur $[0,2\pi [$, les solutions sont $x=\frac{\pi }{3}$ et $x=\frac{5\pi }{3}$.

L'ensemble des solutions de $(E)$ sur $[0,2\pi [$ est donc :

$$S_E=\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$$

Étape 3 — Résolution de $(E^{\prime })$ sur $[0,2\pi [$

L'équation $(E^{\prime })$ est $\frac{\sin (2x)-\sin (x)}{\cos (x)-1}=0$.

Valeurs interdites : $\cos (x)-1=0⟺\cos (x)=1⟺x=0$ sur $[0,2\pi [$. Donc $x=0$ est exclu du domaine de définition de $(E^{\prime })$.

En utilisant la factorisation de l'étape 1, $(E^{\prime })$ s'écrit :

$$\frac{\sin (x)(2\cos (x)-1)}{\cos (x)-1}=0$$

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul). On résout donc :

$$\sin (x)(2\cos (x)-1)=0\text{avec }x\ne 0$$

D'après l'étape 2, les solutions de $\sin (x)(2\cos (x)-1)=0$ sur $[0,2\pi [$ sont $\left\{0,\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$. En excluant $x=0$, on obtient :

$$S_{E^{\prime }}=\left\{\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$$

Étape 4 — Résolution alternative de $(E)$ par division

Reprenons l'équation factorisée $\sin (x)(2\cos (x)-1)=0$.

Puisque $\sin (x)$ apparaît en facteur, on peut diviser les deux membres par $\sin (x)$, ce qui donne :

$$2\cos (x)-1=0⟺\cos (x)=\frac{1}{2}$$

Sur $[0,2\pi [$, les solutions sont $x=\frac{\pi }{3}$ et $x=\frac{5\pi }{3}$.

L'ensemble des solutions de $(E)$ sur $[0,2\pi [$ est donc :

$$S_E=\left\{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right\}$$

Étape 5 — Comparaison des solutions de $(E)$ et $(E^{\prime })$

D'après l'étape 4, $S_E=\left\{\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right\}$.

D'après l'étape 3, $S_{E^{\prime }}=\left\{\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\}$.

On remarque que $S_E\subset S_{E^{\prime }}$ : toutes les solutions de $(E)$ (selon ce calcul) sont solutions de $(E^{\prime })$.

En effet, $x=\pi$ est solution de $(E^{\prime })$ mais pas de $(E)$ d'après ce résultat, car $\sin (\pi )=0$ et $\cos (\pi )-1=-2\ne 0$ : la fraction est bien définie en $x=\pi$, et le numérateur $\sin (\pi )(2\cos (\pi )-1)=0\cdot (-3)=0$, donc $x=\pi$ est solution de $(E^{\prime })$ uniquement.

Conclusion : les solutions de $(E)$ qui sont aussi solutions de $(E^{\prime })$ sont $x=\frac{\pi }{3}$ et $x=\frac{5\pi }{3}$.