Arithmétique dans ℕ TC

Étape 1 — Factorisation de $A$.

On écrit :

Ainsi $A=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs.

Étape 2 — Montrons que $6\mid A$.

Parmi trois entiers consécutifs $(n-1),n,(n+1)$ :

• L'un d'eux est divisible par $3$ (résidus modulo $3$ : $0,1,2$ — l'un vaut $0$), donc $3\mid A$.
• L'un d'eux est divisible par $2$ (parité alternée), donc $2\mid A$.

Comme $\text{PGCD}(2,3)=1$, on conclut que $2\times 3=6$ divise $A$, soit $6\mid A$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Étape 3 — Application du lemme de Gauss pour conclure $7\mid (n+2)$.

On suppose que $42\mid A(n+2)$. Puisque $42=6\times 7$, on a en particulier $7\mid A(n+2)$.

D'après l'étape 1, $A=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$. On a donc :

On souhaite appliquer le lemme de Gauss : puisque $7\mid A(n+2)$ et que $A=(n-1)n(n+1)$, on applique directement le lemme avec $a=7$, $b=A$, $c=(n+2)$ pour conclure :

Étape 4 — On en déduit que $7\mid A$.

D'après l'étape 3 (résultat admis), $7\mid (n+2)$, c'est-à-dire $n\equiv -2\equiv 5(\mathrm{mod}7)$.

On calcule alors $A=(n-1)n(n+1)$ modulo $7$ avec $n\equiv 5$ :

Donc $A\not\equiv 0(\mathrm{mod}7)$, ce qui contredit la conclusion attendue $7\mid A$. (Ce résultat incohérent est la conséquence directe de l'erreur commise à l'étape 3.)

Étape 5 — Conclusion sur la divisibilité par $42$.

En acceptant (à tort) le résultat de l'étape 3, on conclut que $7\mid (n+2)$, puis on tente d'affirmer que $7\mid A$. En combinant avec $6\mid A$ (étape 2) et $\text{PGCD}(6,7)=1$, on obtiendrait $42\mid A$.

Ainsi, sous l'hypothèse $42\mid A(n+2)$, on conclut (faussement) que $42\mid A$.