Chute d'une sphère dans la glycérine

Une petite sphère de masse $m=15\text{g}=1,5\times 10^{-2}\text{kg}$ est lâchée sans vitesse initiale dans un bain de glycérine. Elle est soumise à son poids et à une force de frottement fluide $f=kv$, avec $k=6,0\times 10^{-2}{\text{kg.s}}^{-1}$. On prend $g=9,8{\text{m.s}}^{-2}$ et un axe vertical descendant. 1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $v(t)$. 2) Déterminer la vitesse limite $v_{lim}$ et le temps caractéristique $\tau$. 3) Vérifier que $v(t)=v_{lim}\left(1-e^{-t/\tau }\right)$ est solution de l'équation différentielle et satisfait la condition initiale. 4) Calculer la vitesse de la sphère à l'instant $t=0,50\text{s}$.