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Examen blanc — Suites numériques

⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Suites numériques

2 Bac Sciences Maths ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

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Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Suite récurrente, monotonie et convergence

10 pts

On considère la suite $(u_{n})_{n \geq 0}$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 4$ .

On note $f$ la fonction définie sur $[0, + \infty [$ par $f (x) = 3 x + 4$ .

1. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , on a $0 \leq u_{n} \leq 4$ .

2. Montrer que pour tout $x \in [0, 4]$ , $f (x) - x = \frac{- ( x - 4 ) ( x + 1 )}{3 x + 4 + x}$ , puis en déduire le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ et la monotonie de $(u_{n})$ .

3. En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

4. Déterminer la limite $ℓ$ de la suite $(u_{n})$ .

Exercice 2 — Suite auxiliaire géométrique et étude de limite

10 pts

On considère la suite $(v_{n})_{n \geq 0}$ définie par $v_{0} = 3$ et, pour tout $n \in N$ , $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n} + 2$ .

1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $v_{n} < 4$ .

2. Étudier la monotonie de la suite $(v_{n})$ .

3. En déduire que $(v_{n})$ est convergente (on précisera le théorème utilisé).

4. On pose, pour tout $n \in N$ , $w_{n} = v_{n} - 4$ . Montrer que $(w_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

5. En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis retrouver $n \to + \infty lim v_{n}$ .

Ta note (coche tes points)

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Exercice 1 — Suite récurrente, monotonie et convergence

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Encadrement par récurrence.

Notons $P (n) : 0 \leq u_{n} \leq 4$ .

Initialisation : $u_{0} = 1$ , donc $0 \leq u_{0} \leq 4$ : $P (0)$ est vraie.

Hérédité : supposons $0 \leq u_{n} \leq 4$ . Alors $3 u_{n} + 4 \in [4, 16]$ , donc $3 u_{n} + 4 \in [2, 4]$ . Ainsi $0 \leq 2 \leq u_{n + 1} \leq 4$ , ce qui prouve $P (n + 1)$ .

Par récurrence, pour tout $n$ , $0 \leq u_{n} \leq 4$ . En particulier $(u_{n})$ est minorée par $0$ et majorée par $4$ .

2. Monotonie.

Pour $x \in [0, 4]$ on a, en multipliant par la quantité conjuguée :

$f (x) - x = 3 x + 4 - x = \frac{( 3 x + 4 ) ^{2} - x ^{2}}{3 x + 4 + x} = \frac{- x ^{2} + 3 x + 4}{3 x + 4 + x} = \frac{- ( x - 4 ) ( x + 1 )}{3 x + 4 + x} .$

(On vérifie $- (x - 4) (x + 1) = - (x^{2} - 3 x - 4) = - x^{2} + 3 x + 4$ .)

Pour $x \in [0, 4]$ : le dénominateur $3 x + 4 + x > 0$ , le facteur $x + 1 > 0$ et $x - 4 \leq 0$ , donc $- (x - 4) \geq 0$ . Ainsi $f (x) - x \geq 0$ .

Comme $u_{n} \in [0, 4]$ , on a $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n} \geq 0$ . La suite $(u_{n})$ est donc croissante.

3. Convergence.

La suite $(u_{n})$ est croissante et majorée par $4$ . D'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente. On note $ℓ$ sa limite, avec $ℓ \in [1, 4]$ (car $u_{0} = 1$ et $u_{n} \leq 4$ ).

4. Limite.

$f$ est continue sur $[0, + \infty [$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ . Par passage à la limite, $ℓ$ vérifie $ℓ = f (ℓ)$ , soit $ℓ = 3 ℓ + 4$ avec $ℓ \geq 0$ .

En élevant au carré : $ℓ^{2} = 3 ℓ + 4$ , donc $ℓ^{2} - 3 ℓ - 4 = 0$ , soit $(ℓ - 4) (ℓ + 1) = 0$ . Les solutions sont $ℓ = 4$ et $ℓ = - 1$ . Comme $ℓ \geq 0$ , on a $ℓ = 4$ .

Conclusion : $n \to + \infty lim u_{n} = 4$ .

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

Initialisation de la récurrence (Q1)

pourquoi ces points ?

Vérification correcte de $P (0)$ avec $u_{0} = 1 \in [0, 4]$ .

+0,5 Hérédité de l'encadrement (Q1)

pourquoi ces points ?

Passage de $u_{n} \in [0, 4]$ à $u_{n + 1} \in [2, 4] \subset [0, 4]$ via l'image par $f$ .

+2 Conclusion de la récurrence (Q1)

pourquoi ces points ?

Énoncé explicite du principe de récurrence : la suite est bornée.

+0,5 Factorisation de

f (x) - x

(Q2)

pourquoi ces points ?

Usage de la quantité conjuguée et identification de la forme factorisée demandée.

+2 Étude du signe et monotonie (Q2)

pourquoi ces points ?

Signe de chaque facteur sur $[0, 4]$ et conclusion $(u_{n})$ croissante.

+2 Théorème de la convergence monotone (Q3)

pourquoi ces points ?

Suite croissante et majorée donc convergente : citation correcte du théorème.

+1,5 Calcul de la limite (Q4)

pourquoi ces points ?

Continuité de $f$ , équation $ℓ = f (ℓ)$ , résolution et choix de la racine $ℓ = 4$ .

+1,5

Exercice 2 — Suite auxiliaire géométrique et étude de limite

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Majoration par récurrence.

Notons $Q (n) : v_{n} < 4$ .

Initialisation : $v_{0} = 3 < 4$ , donc $Q (0)$ est vraie.

Hérédité : supposons $v_{n} < 4$ . Alors $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n} + 2 < \frac{1}{2} \times 4 + 2 = 4$ . Donc $Q (n + 1)$ est vraie.

Par récurrence, pour tout $n$ , $v_{n} < 4$ .

2. Monotonie.

Pour tout $n$ : $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{2} v_{n} + 2 - v_{n} = 2 - \frac{1}{2} v_{n} = \frac{1}{2} (4 - v_{n}) .$

D'après la question 1, $v_{n} < 4$ , donc $4 - v_{n} > 0$ et ainsi $v_{n + 1} - v_{n} > 0$ . La suite $(v_{n})$ est strictement croissante.

3. Convergence.

La suite $(v_{n})$ est croissante et majorée par $4$ . D'après le théorème de la convergence monotone, $(v_{n})$ est convergente.

4. Suite auxiliaire.

Pour tout $n$ : $w_{n + 1} = v_{n + 1} - 4 = \frac{1}{2} v_{n} + 2 - 4 = \frac{1}{2} v_{n} - 2 = \frac{1}{2} (v_{n} - 4) = \frac{1}{2} w_{n} .$

Donc $(w_{n})$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $w_{0} = v_{0} - 4 = 3 - 4 = - 1$ .

5. Expression et limite.

On a $w_{n} = w_{0} q^{n} = - (\frac{1}{2})^{n}$ , donc $v_{n} = w_{n} + 4 = 4 - (\frac{1}{2})^{n} .$

Comme $0 < \frac{1}{2} < 1$ , on a $n \to + \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$ , d'où $n \to + \infty lim v_{n} = 4$ , ce qui confirme la convergence trouvée à la question 3.

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

Récurrence : initialisation (Q1)

pourquoi ces points ?

Vérification de $Q (0)$ avec $v_{0} = 3 < 4$ .

+0,5 Récurrence : hérédité (Q1)

pourquoi ces points ?

Majoration $v_{n + 1} < 4$ à partir de $v_{n} < 4$ correctement menée.

+1,5 Calcul de

v_{n + 1} - v_{n}

(Q2)

pourquoi ces points ?

Mise sous la forme $\frac{1}{2} (4 - v_{n})$ pour étudier le signe.

+1,5 Conclusion sur la monotonie (Q2)

pourquoi ces points ?

Utilisation de $v_{n} < 4$ pour conclure que $(v_{n})$ est croissante.

+1 Théorème de la convergence monotone (Q3)

pourquoi ces points ?

Suite croissante et majorée donc convergente : théorème cité explicitement.

+1,5 Nature géométrique de

(w_{n})

(Q4)

pourquoi ces points ?

Démonstration de $w_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n}$ , raison et premier terme précisés.

+2 Expression de

v_{n}

(Q5)

pourquoi ces points ?

Formule $v_{n} = 4 - (\frac{1}{2})^{n}$ obtenue à partir de $w_{n}$ .

+1,5 Limite finale (Q5)

pourquoi ces points ?

Limite d'une suite géométrique de raison dans $] - 1, 1 [$ et conclusion $lim v_{n} = 4$ .

+0,5

Ta note estimée

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