⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Probabilités

2 Bac Sciences Maths ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

📋 Comment ça marche

Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Tirages, dénombrement et probabilités conditionnelles

10 pts

Un sac contient deux urnes identiques :

l'urne $U_{1}$ contient $3$ boules blanches et $2$ boules noires ;
l'urne $U_{2}$ contient $1$ boule blanche et $4$ boules noires.

On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ :

si le résultat est inférieur ou égal à $2$ , on choisit l'urne $U_{1}$ ;
sinon, on choisit l'urne $U_{2}$ .

Puis on tire au hasard une boule de l'urne choisie. On note $B$ l'événement « la boule tirée est blanche » et $N$ l'événement « la boule tirée est noire ».

1. Montrer que la probabilité de choisir l'urne $U_{1}$ est $\frac{1}{3}$ , et donner celle de choisir $U_{2}$ . (1 pt)

2. Construire un arbre pondéré décrivant l'expérience, puis donner $P (B ∣ U_{1})$ et $P (B ∣ U_{2})$ . (1,5 pt)

3. À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que $P (B) = \frac{1}{3}$ . (1,5 pt)

4. Sachant que la boule tirée est blanche, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_{1}$ . (1,5 pt)

5. On considère désormais uniquement l'urne $U_{1}$ . On tire simultanément $2$ boules de $U_{1}$ . On note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.

a. Déterminer le nombre total de tirages possibles, puis la loi de probabilité de $X$ . (2,5 pt)

b. Calculer l'espérance $E (X)$ . (2 pt)

Exercice 2 — Répétitions indépendantes et loi binomiale

10 pts

Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte $8$ questions indépendantes. Chaque question propose $4$ réponses, dont une seule est correcte. Un candidat, n'ayant pas révisé, répond à chaque question au hasard et de façon indépendante. On note $X$ le nombre de réponses correctes parmi les $8$ questions.

1. Justifier que, pour une question donnée, la probabilité de répondre correctement est $p = \frac{1}{4}$ , et expliquer pourquoi les épreuves sont indépendantes. (1,5 pt)

2. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. (1,5 pt)

3. Donner l'expression de $P (X = k)$ pour $k \in {0, 1, \dots, 8}$ . (1 pt)

4. Calculer la probabilité que le candidat ne donne aucune bonne réponse, puis la probabilité qu'il en donne au moins une. (2 pt)

5. Calculer la probabilité que le candidat obtienne au moins deux bonnes réponses. (2 pt)

6. Calculer l'espérance $E (X)$ et la variance $V (X)$ , et interpréter $E (X)$ . (2 pt)