Examen blanc — Nombres complexes

Écris $\Delta$ sous forme $(2i{)}^2$ : c'est ce qui justifie le passage à $\pm 2i$. Une racine carrée d'un réel négatif doit toujours être explicitée.

Applique $z=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$ sans oublier le facteur $2a$ au dénominateur.

$|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$. C'est le réflexe de départ avant tout argument.

Factoriser par $|z_1|$ fait apparaître $\cos$ et $\sin$ : c'est l'étape qui évite les erreurs d'argument.

Le couple $(\cos ,\sin )=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ donne un angle unique du cercle : ne confonds pas avec $\frac{\pi }{3}$.

Réunis module et argument : $z_1=r(\cos \theta +i\sin \theta )$.

$(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$ : multiplie l'argument par $n$, élève le module à la puissance $n$.

$\sin \pi =0$ : la partie imaginaire s'annule, d'où un réel.

Calcule les trois modules : l'égalité est la clé de toute la suite (points cocycliques).

Interpréter « même module » par « même distance à $O$ » : la géométrie naît de l'algèbre.

Une rotation de centre $O$ d'angle $\theta$ est toujours $z^{\prime }=e^{i\theta }z$ ; le centre $O$ explique l'absence de translation.

Remplace puis développe $e^{i\pi /3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ; conclure $r(A)=B$ exige l'égalité d'affixes.

$\left|\frac{c}{b}\right|=\frac{|c|}{|b|}$ : le module d'un quotient est le quotient des modules.

$\arg \left(\frac{c}{b}\right)=\arg (c)-\arg (b)$ : l'argument d'un quotient est la différence des arguments.

Isocèle (deux côtés égaux) + angle $\frac{\pi }{3}$ au sommet $\Rightarrow$ équilatéral. N'oublie pas de nommer le théorème de reconnaissance.