⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc national — sujet complet (2)

2 Bac Sciences Maths ⏱️ 180 min Noté sur 20 4 exercices

📋 Comment ça marche

Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 3 heures. 4 exercices indépendants notés sur 5 points chacun, couvrant l'ensemble du programme. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Probabilités — loi binomiale et probabilité conditionnelle

5 pts

Une usine produit des composants électroniques. On admet que la probabilité qu'un composant pris au hasard soit défectueux est $p = 0, 1$ . Les composants sont supposés indépendants les uns des autres.

Partie A. On prélève au hasard un lot de $n = 8$ composants. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de composants défectueux dans le lot.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité $P (X = 2)$ (on donnera la valeur exacte puis une valeur approchée au millième).
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins un composant défectueux dans le lot.

Partie B. Pour fiabiliser la production, un test de contrôle est appliqué. Ce test détecte un composant défectueux avec une probabilité de $0, 95$ ; il déclare à tort défectueux un composant sain avec une probabilité de $0, 02$ . On choisit un composant au hasard et on note $D$ l'événement « le composant est défectueux » et $T$ l'événement « le test est positif ».

Calculer la probabilité $P (T)$ que le test soit positif.
Un composant a un test positif. Calculer la probabilité qu'il soit réellement défectueux, c'est-à-dire $P (D ∣ T)$ (valeur approchée au millième).

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace — produit vectoriel, plan et sphère

5 pts

L'espace est muni d'un repère orthonormé direct $(O; i, j, k)$ . On considère les points $A (1; 0; 2)$ , $B (3; 1; 1)$ et $C (2; 2; 3)$ .

Calculer le produit vectoriel $A B \land A C$ .
En déduire que les points $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés, puis déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .
Calculer l'aire du triangle $A B C$ .
On considère la sphère $(S)$ d'équation $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z + 5 = 0$ . Déterminer son centre $Ω$ et son rayon $R$ .
Calculer la distance du centre $Ω$ au plan $(A B C)$ et préciser la position relative du plan $(A B C)$ et de la sphère $(S)$ .

Exercice 3 — Structures algébriques — loi de composition et groupe

5 pts

On munit l'ensemble $E =] - 1; 1 [$ de la loi de composition interne $*$ définie, pour tous $x, y \in E$ , par :

$x * y = \frac{x + y}{1 + x y} .$

Vérifier que pour tous $x, y \in E$ on a bien $x * y \in E$ (on pourra étudier le signe de $1 - x * y$ et de $1 + x * y$ ).
Montrer que la loi $*$ est commutative et associative.
Montrer que $0$ est élément neutre pour $*$ .
Montrer que tout élément $x \in E$ admet un symétrique pour $*$ , que l'on précisera.
Conclure que $(E, *)$ est un groupe commutatif.

Exercice 4 — Analyse — calcul intégral, intégration par parties et suite d'intégrales

5 pts

Pour tout entier $n \geq 0$ , on pose :

$I_{n} = 0 \int 1 x^{n} e^{x} d x .$

Calculer $I_{0}$ .
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{1} = 0 \int 1 x e^{x} d x$ .
Établir, pour tout $n \geq 1$ , la relation de récurrence $I_{n} = e - n I_{n - 1}$ .
En déduire la valeur de $I_{2}$ .
Montrer que pour tout $n \geq 0$ on a $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ , puis en déduire la limite de la suite $(I_{n})$ .

Ta note (coche tes points)

0 / 20

Coche honnêtement chaque ligne que tu as écrite sur ta copie. Sois exigeant : le correcteur l'est.

Exercice 1 — Probabilités — loi binomiale et probabilité conditionnelle

5 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

Partie A.

1. On répète $n = 8$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès « composant défectueux » a pour probabilité $p = 0, 1$ . Donc $X$ suit la loi binomiale $B (8; 0, 1)$ .

2. Pour $k \in {0, 1, \dots, 8}$ : $P (X = k) = (k 8) (0, 1)^{k} (0, 9)^{8 - k}$ . Pour $k = 2$ :

$P (X = 2) = (2 8) (0, 1)^{2} (0, 9)^{6} = 28 \times 0, 01 \times (0, 9)^{6}$ .

Or $(0, 9)^{6} = 0, 531441$ , donc $P (X = 2) = 28 \times 0, 01 \times 0, 531441 = 0, 28 \times 0, 531441 = 0, 14880348 \approx 0, 149$ .

3. L'événement « au moins un défectueux » est le contraire de « aucun défectueux » :

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (0, 9)^{8}$ . Or $(0, 9)^{8} = 0, 43046721$ , donc $P (X \geq 1) = 1 - 0, 43046721 = 0, 56953279 \approx 0, 570$ .

Partie B.

4. D'après l'énoncé : $P (D) = 0, 1$ , $P (\overline{D}) = 0, 9$ , $P (T ∣ D) = 0, 95$ et $P (T ∣ \overline{D}) = 0, 02$ . Par la formule des probabilités totales :

$P (T) = P (D) P (T ∣ D) + P (\overline{D}) P (T ∣ \overline{D}) = 0, 1 \times 0, 95 + 0, 9 \times 0, 02 = 0, 095 + 0, 018 = 0, 113$ .

5. Par la formule de Bayes :

$P (D ∣ T) = \frac{P ( D ) P ( T ∣ D )}{P ( T )} = \frac{0 , 095}{0 , 113} \approx 0, 841$ .

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

X \sim B (8; 0, 1)

avec justification (Bernoulli, indépendance)

pourquoi ces points ?

Identification correcte du modèle binomial et de ses deux paramètres, avec les conditions de validité.

P (X = 2) = (2 8) (0, 1)^{2} (0, 9)^{6} \approx 0, 149

pourquoi ces points ?

Application de la formule, calcul exact et valeur approchée correcte.

P (X \geq 1) = 1 - (0, 9)^{8} \approx 0, 570

pourquoi ces points ?

Passage par l'événement contraire et calcul numérique.

P (T) = 0, 1 \cdot 0, 95 + 0, 9 \cdot 0, 02 = 0, 113

pourquoi ces points ?

Mise en place et application correcte de la formule des probabilités totales.

P (D ∣ T) = \frac{0 , 095}{0 , 113} \approx 0, 841

pourquoi ces points ?

Application correcte de la formule de Bayes et conclusion numérique.

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace — produit vectoriel, plan et sphère

5 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. $A B = (2; 1; - 1)$ et $A C = (1; 2; 1)$ . Alors

$A B \land A C = (1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2; (- 1) \cdot 1 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (1 + 2; - 1 - 2; 4 - 1) = (3; - 3; 3)$ .

2. Comme $A B \land A C = (3; - 3; 3) \neq = 0$ , les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires : $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. Le vecteur $n = (1; - 1; 1)$ (colinéaire à $A B \land A C$ ) est normal au plan $(A B C)$ . Une équation est $x - y + z + d = 0$ . En écrivant que $A (1; 0; 2)$ appartient au plan : $1 - 0 + 2 + d = 0$ , d'où $d = - 3$ . Donc $(A B C) : x - y + z - 3 = 0$ .

3. $A (A B C) = \frac{1}{2} ∥ A B \land A C ∥ = \frac{1}{2} 3^{2} + (- 3)^{2} + 3^{2} = \frac{1}{2} 27 = \frac{3 3}{2}$ .

4. On regroupe : $x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y + z^{2} - 6 z + 5 = 0$ , soit $(x - 1)^{2} - 1 + (y - 2)^{2} - 4 + (z - 3)^{2} - 9 + 5 = 0$ , d'où $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$ . Donc $(S)$ a pour centre $Ω (1; 2; 3)$ et pour rayon $R = 3$ .

5. $d (Ω, (A B C)) = \frac{∣1 - 2 + 3 - 3∣}{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ - 1∣}{3} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 577$ . Comme $d (Ω, (A B C)) = \frac{1}{3} < R = 3$ , le plan $(A B C)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle.

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

A B \land A C = (3; - 3; 3)

pourquoi ces points ?

Calcul correct des coordonnées des vecteurs puis du produit vectoriel.

+1 Non-alignement et équation

(A B C) : x - y + z - 3 = 0

pourquoi ces points ?

Justification du non-alignement et détermination de l'équation cartésienne via le vecteur normal.

A (A B C) = \frac{3 3}{2}

pourquoi ces points ?

Utilisation de la norme du produit vectoriel pour l'aire du triangle.

+1 Centre

Ω (1; 2; 3)

et rayon

R = 3

pourquoi ces points ?

Mise sous forme canonique par complétion des carrés.

d (Ω, (A B C)) = \frac{1}{3} < R

: plan sécant (cercle)

pourquoi ces points ?

Calcul de la distance et conclusion correcte sur la position relative.

Exercice 3 — Structures algébriques — loi de composition et groupe

5 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Soit $x, y \in E$ , donc $- 1 < x < 1$ et $- 1 < y < 1$ . Alors $1 + x y > 0$ (car $∣ x y ∣ < 1$ ), donc $x * y$ est bien défini. Étudions :

$1 - x * y = \frac{( 1 + x y ) - ( x + y )}{1 + x y} = \frac{1 - x - y + x y}{1 + x y} = \frac{( 1 - x ) ( 1 - y )}{1 + x y} > 0$ ,

$1 + x * y = \frac{( 1 + x y ) + ( x + y )}{1 + x y} = \frac{1 + x + y + x y}{1 + x y} = \frac{( 1 + x ) ( 1 + y )}{1 + x y} > 0,$

car $1 - x > 0$ , $1 - y > 0$ , $1 + x > 0$ , $1 + y > 0$ et $1 + x y > 0$ . Donc $- 1 < x * y < 1$ , c'est-à-dire $x * y \in E$ : la loi $*$ est interne.

2. Commutativité : $x * y = \frac{x + y}{1 + x y} = \frac{y + x}{1 + y x} = y * x$ . Associativité : pour $x, y, z \in E$ ,

$(x * y) * z = \frac{\frac{x + y}{1 + x y} + z}{1 + \frac{x + y}{1 + x y} z} = \frac{x + y + z + x y z}{1 + x y + x z + y z}$ ,

en multipliant numérateur et dénominateur par $1 + x y$ . Par un calcul symétrique, $x * (y * z) = \frac{x + y + z + x y z}{1 + x y + x z + y z}$ . Donc $(x * y) * z = x * (y * z)$ .

3. Pour tout $x \in E$ : $x * 0 = \frac{x + 0}{1 + 0} = x$ et par commutativité $0 * x = x$ . De plus $0 \in E$ . Donc $0$ est l'élément neutre.

4. Soit $x \in E$ . On cherche $x^{'} \in E$ tel que $x * x^{'} = 0$ , soit $\frac{x + x ^{'}}{1 + x x ^{'}} = 0$ , d'où $x + x^{'} = 0$ , c'est-à-dire $x^{'} = - x$ . Comme $- 1 < x < 1$ , on a $- 1 < - x < 1$ , donc $x^{'} = - x \in E$ . Ainsi tout $x$ admet pour symétrique $- x$ .

5. $*$ est une loi interne, associative, commutative, admettant un élément neutre $0$ , et tout élément possède un symétrique dans $E$ . Donc $(E, *)$ est un groupe commutatif (abélien).

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

Stabilité :

1 - x * y = \frac{( 1 - x ) ( 1 - y )}{1 + x y} > 0

1 + x * y > 0

pourquoi ces points ?

Preuve que la loi est interne via la factorisation et l'étude de signe.

+1 Commutativité et associativité de

*

pourquoi ces points ?

Commutativité immédiate et associativité par calcul complet des deux membres.

+1,5

0

élément neutre :

x * 0 = x

pourquoi ces points ?

Vérification de l'élément neutre, appartenant bien à $E$ .

+1 Symétrique de

x

x^{'} = - x \in E

pourquoi ces points ?

Résolution de $x * x^{'} = 0$ et vérification de l'appartenance à $E$ .

+1 Conclusion :

(E, *)

groupe commutatif

pourquoi ces points ?

Synthèse des axiomes établis pour conclure à la structure de groupe abélien.

+0,5

Exercice 4 — Analyse — calcul intégral, intégration par parties et suite d'intégrales

5 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. $I_{0} = 0 \int 1 e^{x} d x = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$ .

2. Intégration par parties avec $u (x) = x$ , $v^{'} (x) = e^{x}$ , donc $u^{'} (x) = 1$ , $v (x) = e^{x}$ :

$I_{1} = [x e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 e^{x} d x = (1 \cdot e - 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1$ .

3. Soit $n \geq 1$ . On pose $u (x) = x^{n}$ , $v^{'} (x) = e^{x}$ , donc $u^{'} (x) = n x^{n - 1}$ , $v (x) = e^{x}$ :

$I_{n} = [x^{n} e^{x}]_{0}^{1} - 0 \int 1 n x^{n - 1} e^{x} d x = (1^{n} \cdot e - 0) - n 0 \int 1 x^{n - 1} e^{x} d x = e - n I_{n - 1}$ .

4. Pour $n = 2$ : $I_{2} = e - 2 I_{1} = e - 2 \times 1 = e - 2$ .

5. Pour $x \in [0, 1]$ on a $x^{n} \geq 0$ et $e^{x} > 0$ , donc $x^{n} e^{x} \geq 0$ et par positivité de l'intégrale $I_{n} \geq 0$ . De plus, pour $x \in [0, 1]$ , $e^{x} \leq e$ , donc $x^{n} e^{x} \leq e x^{n}$ . En intégrant sur $[0, 1]$ :

$I_{n} \leq e 0 \int 1 x^{n} d x = e [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} = \frac{e}{n + 1}$ .

Ainsi $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}$ . Comme $n \to + \infty lim \frac{e}{n + 1} = 0$ , le théorème des gendarmes donne $n \to + \infty lim I_{n} = 0$ .

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

I_{0} = e - 1

pourquoi ces points ?

Calcul direct de l'intégrale de la fonction exponentielle.

+0,75

I_{1} = 1

par intégration par parties

pourquoi ces points ?

Choix correct de $u$ et $v^{'}$ , calcul du crochet et de l'intégrale restante.

+1,25

I_{n} = e - n I_{n - 1}

pourquoi ces points ?

Intégration par parties générale établissant la relation de récurrence.

+1,25

I_{2} = e - 2

pourquoi ces points ?

Application de la relation de récurrence avec $I_{1} = 1$ .

+0,75

0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1}

puis

lim I_{n} = 0

pourquoi ces points ?

Encadrement par positivité et majoration, puis théorème des gendarmes.