⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Dénombrement et probabilités

2 Bac Sciences Exp ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

📋 Comment ça marche

Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

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✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Tirages dans une urne, conditionnelle et probabilités totales

10 pts

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : $5$ rouges, $4$ vertes et $3$ bleues.

Partie A. On tire simultanément $3$ boules de l'urne.

Justifier que le nombre de tirages possibles est $(3 12) = 220$ .
Calculer la probabilité de l'événement $A$ : « les $3$ boules tirées sont rouges ».
Calculer la probabilité de l'événement $B$ : « les $3$ boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes ».
Calculer la probabilité de l'événement $C$ : « il y a au moins une boule bleue parmi les $3$ tirées ».

Partie B. On dispose maintenant de deux urnes. L'urne $U_{1}$ contient $3$ boules rouges et $2$ boules vertes ; l'urne $U_{2}$ contient $1$ boule rouge et $4$ boules vertes. On choisit une urne au hasard selon le protocole suivant : on choisit $U_{1}$ avec la probabilité $\frac{1}{3}$ et $U_{2}$ avec la probabilité $\frac{2}{3}$ , puis on tire une seule boule de l'urne choisie.

Construire un arbre pondéré décrivant cette expérience, puis montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que la probabilité de tirer une boule rouge est $P (R) = \frac{1}{3}$ .
Sachant que la boule tirée est rouge, calculer la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_{1}$ , c'est-à-dire $P_{R} (U_{1})$ .

Exercice 2 — Épreuves de Bernoulli et loi binomiale

10 pts

On reprend une urne contenant $5$ boules rouges et $10$ boules vertes (soit $15$ boules au total). On répète l'expérience suivante $4$ fois de suite, de façon indépendante : on tire une boule, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On considère comme succès l'événement « la boule tirée est rouge ».

Justifier que la probabilité d'un succès lors d'un tirage est $p = \frac{1}{3}$ .
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus au cours des $4$ tirages. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner l'expression de $P (X = k)$ pour $k \in {0, 1, 2, 3, 4}$ .
Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux boules rouges, $P (X = 2)$ .
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge, $P (X \geq 1)$ .
Calculer l'espérance $E (X)$ et interpréter le résultat.