Examen blanc — Nombres complexes

1. On développe : $z=(2+i)(1-3i)=2-6i+i-3i^2$. Comme $i^2=-1$, on a $-3i^2=3$, donc $z=2+3+(-6+1)i=5-5i$.

2. Le conjugué s'obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : $\bar{z}=5+5i$.

3. Pour $u=1+i\sqrt{3}$ : $|u|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$.

4. On écrit $u=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. On cherche $\theta$ tel que $\cos \theta =\frac{1}{2}$ et $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$, d'où $\theta =\frac{\pi }{3}$. Donc $u=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$, et $\arg (u)\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]$.

5. Pour $(E):w^2-2w+4=0$, le discriminant est $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times 4=4-16=-12<0$. Comme $\Delta <0$, on écrit $\Delta =(i\sqrt{12}{)}^2=(2i\sqrt{3}{)}^2$. Les deux solutions complexes conjuguées sont : $w_1=\frac{2+2i\sqrt{3}}{2}=1+i\sqrt{3}$ et $w_2=\frac{2-2i\sqrt{3}}{2}=1-i\sqrt{3}$. Donc $S=\{1+i\sqrt{3};1-i\sqrt{3}\}$.

1. $AB=|z_B-z_A|=|(2+2i)-2|=|2i|=2$.

2. $AC=|z_C-z_A|=|2i-2|=|-2+2i|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Puis $BC=|z_C-z_B|=|2i-(2+2i)|=|-2|=2$.

3. On a $AB=BC=2$ : le triangle est isocèle en $B$. De plus $A{B}^2+B{C}^2=2^2+2^2=8$ et $A{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$. L'égalité $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$ montre, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que le triangle est rectangle en $B$. Le triangle $ABC$ est donc rectangle isocèle en $B$.

4. Comme $e^{i\frac{\pi }{2}}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$, on a $z_D=i\cdot z_A=i\times 2=2i$. Ainsi $z_D=2i$ (le point $D$ est confondu avec $C$).