Examen blanc — Trigonométrie

1. On utilise les formules d'addition avec $\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$.

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.$

$\sin \frac{\pi }{12}=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$

2. $\tan \frac{\pi }{12}=\frac{\sin \frac{\pi }{12}}{\cos \frac{\pi }{12}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}.$ On multiplie haut et bas par $\sqrt{6}-\sqrt{2}$ :

$\tan \frac{\pi }{12}=\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2}{)}^2}{(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{6-2\sqrt{12}+2}{6-2}=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}.$

3. En développant avec les formules d'addition :

$A=\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos x-\sin \frac{\pi }{4}\sin x\right)\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x\right)={\cos }^2\frac{\pi }{4}{\cos }^{2}x-{\sin }^2\frac{\pi }{4}{\sin }^{2}x.$

Or ${\cos }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^2\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$, donc $A=\frac{1}{2}\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=\frac{1}{2}\cos 2x.$

(On pouvait aussi écrire directement $A=\frac{1}{2}(\cos (2x)+\cos \frac{\pi }{2})=\frac{1}{2}\cos 2x$ par produit en somme.)

4. On part du membre de gauche en réduisant au même dénominateur $\sin x\cos x$ :

$\frac{1}{\sin x\cos x}-\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x\cos x}-\frac{\cos x\cdot \cos x}{\sin x\cos x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}.$

Comme $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$, on obtient $\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x.$ L'identité est démontrée.

1. Ici $a=1$ et $b=\sqrt{3}$, donc $R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2.$ On écrit :

$f(x)=2\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right).$

On cherche $\phi$ tel que $\cos \phi =\frac{1}{2}$ et $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, d'où $\phi =\frac{\pi }{3}$. En effet $\cos (x-\phi )=\cos \phi \cos x+\sin \phi \sin x$, donc :

$$f(x)=2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right).$$

2. L'équation $f(x)=1$ s'écrit $2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$, soit $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}.$

Or $\cos \theta =\frac{1}{2}⟺\theta =\frac{\pi }{3}+2k\pi$ ou $\theta =-\frac{\pi }{3}+2k\pi$, avec $k\in \mathbb{Z}$. Avec $\theta =x-\frac{\pi }{3}$ :

$x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,$

$x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=2k\pi .$

Dans $[0,2\pi [$, on retient $x=0$ (pour $k=0$) et $x=\frac{2\pi }{3}$ (pour $k=0$). Donc $S_{[0,2\pi [}=\left\{0,\frac{2\pi }{3}\right\}.$

Dans $\mathbb{R}$ : $S_{\mathbb{R}}=\left\{2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}.$

3. L'inéquation $f(x)\ge 1$ équivaut à $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\ge \frac{1}{2}.$ Posons $\theta =x-\frac{\pi }{3}$.

Sur un tour, $\cos \theta \ge \frac{1}{2}$ pour $\theta \in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$ (modulo $2\pi$). On résout donc :

$-\frac{\pi }{3}+2k\pi \le x-\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{3}+2k\pi$, soit en ajoutant $\frac{\pi }{3}$ :

$2k\pi \le x\le \frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Pour $k=0$ : $x\in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$. Pour les autres valeurs de $k$, l'intervalle correspondant est hors de $[0,2\pi [$ sauf $x=2\pi$ (exclu). On vérifie que pour $k=1$, $x\in [2\pi ,\dots [$ est exclu. Ainsi :

$$S_{[0,2\pi [}=\left[0,\frac{2\pi }{3}\right].$$