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Examen blanc — Suites arithmétiques et géométriques

⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Suites arithmétiques et géométriques

1 Bac Sciences Maths ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

📋 Comment ça marche

Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Suite arithmétique

10 pts

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$ . On suppose que :

$u_{3} = 7 et u_{8} = 22.$

1. Déterminer la raison $r$ , puis le premier terme $u_{0}$ .

2. Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Montrer que la suite $(u_{n})$ est strictement croissante.

4. Calculer la somme $S = k = 0 \sum 20 u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{20}$ .

Exercice 2 — Suite géométrique et suite auxiliaire

10 pts

On considère la suite $(u_{n})_{n \in N}$ définie par :

$u_{0} = 8 et u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3 (n \in N) .$

On pose, pour tout $n \in N$ , $w_{n} = u_{n} - 6$ .

1. Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .

2. Montrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison $q$ et son premier terme $w_{0}$ .

3. En déduire l'expression de $w_{n}$ , puis celle de $u_{n}$ en fonction de $n$ .

4. Calculer la somme $T = k = 0 \sum n w_{k}$ en fonction de $n$ , puis en déduire $k = 0 \sum n u_{k}$ .

Ta note (coche tes points)

0 / 20

Coche honnêtement chaque ligne que tu as écrite sur ta copie. Sois exigeant : le correcteur l'est.

Exercice 1 — Suite arithmétique

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Pour une suite arithmétique, $u_{n} = u_{0} + n r$ , donc $u_{8} - u_{3} = (8 - 3) r = 5 r$ . On a alors :

$5 r = u_{8} - u_{3} = 22 - 7 = 15 ⟹ r = 3.$

De plus $u_{3} = u_{0} + 3 r$ , d'où :

$u_{0} = u_{3} - 3 r = 7 - 3 \times 3 = 7 - 9 = - 2.$

2. Pour tout $n \in N$ :

$u_{n} = u_{0} + n r = - 2 + 3 n .$

3. Pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} - u_{n} = r = 3 > 0$ . La suite $(u_{n})$ est donc strictement croissante.

4. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut (nombre de termes) $\times$ (moyenne des extrêmes). Ici il y a $21$ termes (de $u_{0}$ à $u_{20}$ ), et $u_{20} = - 2 + 3 \times 20 = 58$ . Donc :

$S = k = 0 \sum 20 u_{k} = 21 \times \frac{u _{0} + u _{20}}{2} = 21 \times \frac{- 2 + 58}{2} = 21 \times 28 = 588.$

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

5 r = u_{8} - u_{3} = 15

d'où

r = 3

pourquoi ces points ?

Utilisation correcte de $u_{8} - u_{3} = 5 r$ pour isoler la raison.

u_{0} = u_{3} - 3 r = - 2

pourquoi ces points ?

Retour au premier terme à partir de $u_{3} = u_{0} + 3 r$ .

+1,5

u_{n} = - 2 + 3 n

pourquoi ces points ?

Terme général exact de la suite arithmétique.

u_{n + 1} - u_{n} = 3 > 0

donc

(u_{n})

croissante

pourquoi ces points ?

Justification de la monotonie par le signe de la différence.

+1,5

u_{20} = 58

et nombre de termes

= 21

pourquoi ces points ?

Identification correcte du dernier terme et du nombre de termes de la somme.

+1,5

S = 21 \times \frac{- 2 + 58}{2} = 588

pourquoi ces points ?

Application de la formule de la somme et calcul final.

+1,5

Exercice 2 — Suite géométrique et suite auxiliaire

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. $u_{1} = \frac{1}{2} \times 8 + 3 = 4 + 3 = 7$ , puis $u_{2} = \frac{1}{2} \times 7 + 3 = \frac{7}{2} + 3 = \frac{13}{2}$ .

2. Pour tout $n \in N$ :

$w_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = (\frac{1}{2} u_{n} + 3) - 6 = \frac{1}{2} u_{n} - 3 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} w_{n} .$

Donc $(w_{n})$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ , et de premier terme $w_{0} = u_{0} - 6 = 8 - 6 = 2$ .

3. Comme $(w_{n})$ est géométrique, $w_{n} = w_{0} q^{n} = 2 (\frac{1}{2})^{n}$ . Or $u_{n} = w_{n} + 6$ , donc :

$u_{n} = 6 + 2 (\frac{1}{2})^{n} .$

4. $(w_{n})$ étant géométrique de raison $q = \frac{1}{2} \neq = 1$ et de premier terme $w_{0} = 2$ , la somme de ses $n + 1$ premiers termes vaut :

$T = k = 0 \sum n w_{k} = w_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} = 2 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = 4 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}) .$

Comme $u_{k} = w_{k} + 6$ pour tout $k$ , et que la somme $k = 0 \sum n 6$ comporte $n + 1$ termes égaux à $6$ :

$k = 0 \sum n u_{k} = k = 0 \sum n w_{k} + k = 0 \sum n 6 = 4 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}) + 6 (n + 1) .$

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

u_{1} = 7

u_{2} = \frac{13}{2}

pourquoi ces points ?

Application directe de la relation de récurrence.

w_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} - 3 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6)

pourquoi ces points ?

Calcul de $w_{n + 1}$ et factorisation faisant apparaître $w_{n}$ .

w_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n}

(w_{n})

géométrique,

q = \frac{1}{2}

w_{0} = 2

pourquoi ces points ?

Conclusion sur la nature de $(w_{n})$ avec raison et premier terme.

+1,5

w_{n} = 2 (\frac{1}{2})^{n}

pourquoi ces points ?

Terme général d'une suite géométrique.

+1,5

u_{n} = 6 + 2 (\frac{1}{2})^{n}

pourquoi ces points ?

Retour à $u_{n}$ via $u_{n} = w_{n} + 6$ .

+1,5

T = 4 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1})

pourquoi ces points ?

Formule de la somme d'une suite géométrique de raison $\neq = 1$ .

+1,5

k = 0 \sum n u_{k} = 4 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}) + 6 (n + 1)

pourquoi ces points ?

Décomposition $u_{k} = w_{k} + 6$ et somme des $n + 1$ constantes.

Ta note estimée

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🎯 Les points que tu as laissés sur la table

💡 Pour transformer ces points oubliés en réflexes : le Barème décodé · l'Atlas des erreurs

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