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Examen blanc — Géométrie dans l'espace (vecteurs)

⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Géométrie dans l'espace (vecteurs)

1 Bac Sciences Maths ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

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Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

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✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Vecteurs de l'espace : colinéarité, alignement et coplanarité

10 pts

L'espace est muni d'un repère $(O; , , k)$ . On considère les points :

$A (1; 2; - 1)$ , $B (3; - 2; 1)$ , $C (- 1; 6; - 3)$ ,

$P (0; 0; 0)$ , $Q (1; 1; 2)$ , $R (2; - 1; 1)$ , $S (4; 1; 5)$ .

1. On pose $u (2; - 4; 2)$ et $v (- 3; 6; - 3)$ . Les vecteurs $u$ et $v$ sont-ils colinéaires ? Justifier.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ , puis montrer que les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

3. On donne les vecteurs $a (1; 2; 1)$ , $b (2; - 1; 3)$ et $w (5; 0; 7)$ . Montrer que $w$ est une combinaison linéaire de $a$ et $b$ . Que peut-on en déduire pour les trois vecteurs $a$ , $b$ , $w$ ?

4. Les quatre points $P$ , $Q$ , $R$ et $S$ sont-ils coplanaires ? Justifier rigoureusement.

Exercice 2 — Représentation paramétrique et position relative de deux droites

10 pts

L'espace est muni d'un repère $(O; , , k)$ . On considère :

$∙$ la droite $(D_{1})$ passant par $A (1; 2; - 1)$ et de vecteur directeur $u (2; 1; 3)$ ;

$∙$ la droite $(D_{2})$ passant par $B (5; - 1; 0)$ et de vecteur directeur $w (- 1; 2; 1)$ .

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(D_{1})$ (paramètre $t$ ).

2. Le point $E (5; 4; 5)$ appartient-il à $(D_{1})$ ? Et le point $F (0; 3; 1)$ ?

3. Les vecteurs $u$ et $w$ sont-ils colinéaires ? Qu'en déduit-on quant à la possibilité que $(D_{1})$ et $(D_{2})$ soient parallèles ?

4. Étudier la position relative des droites $(D_{1})$ et $(D_{2})$ . Si elles sont sécantes, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $I$ .

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Exercice 1 — Vecteurs de l'espace : colinéarité, alignement et coplanarité

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Colinéarité de $u$ et $v$ .

On cherche un réel $λ$ tel que $v = λ u$ . En comparant les premières coordonnées : $- 3 = λ \times 2$ , donc $λ = - \frac{3}{2}$ .

Vérification sur les deux autres coordonnées :

$- \frac{3}{2} \times (- 4) = 6$ et $- \frac{3}{2} \times 2 = - 3$ .

On retrouve bien $(- 3; 6; - 3)$ , donc $v = - \frac{3}{2} u$ : les vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires.

2. Alignement de $A$ , $B$ , $C$ .

$A B = (3 - 1; - 2 - 2; 1 - (- 1)) = (2; - 4; 2)$ .

$A C = (- 1 - 1; 6 - 2; - 3 - (- 1)) = (- 2; 4; - 2)$ .

On remarque que $A C = - 1 \times (2; - 4; 2) = - A B$ .

Donc $A C$ et $A B$ sont colinéaires : les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

3. $w$ combinaison linéaire de $a$ et $b$ .

On cherche deux réels $x$ et $y$ tels que $w = x a + y b$ , soit :

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y = 5 2 x - y = 0 x + 3 y = 7$

La deuxième équation donne $y = 2 x$ . En remplaçant dans la première : $x + 2 (2 x) = 5$ , soit $5 x = 5$ , donc $x = 1$ et $y = 2$ .

Vérification dans la troisième équation : $1 + 3 \times 2 = 7$ . C'est cohérent.

Donc $w = a + 2 b$ . Comme $w$ s'écrit comme combinaison linéaire de $a$ et $b$ , les trois vecteurs $a$ , $b$ , $w$ sont coplanaires.

4. Coplanarité de $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ .

$P Q = (1; 1; 2)$ , $P R = (2; - 1; 1)$ , $P S = (4; 1; 5)$ .

$P Q$ et $P R$ ne sont pas colinéaires (par exemple $\frac{2}{1} = 2$ mais $\frac{- 1}{1} = - 1$ ). On cherche donc $x$ , $y$ tels que $P S = x P Q + y P R$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y = 4 x - y = 1 2 x + y = 5$

Par soustraction des deux premières : $(x + 2 y) - (x - y) = 4 - 1$ , soit $3 y = 3$ , donc $y = 1$ puis $x = 2$ .

Vérification dans la troisième : $2 \times 2 + 1 = 5$ . C'est cohérent.

Ainsi $P S = 2 P Q + P R$ : le vecteur $P S$ est combinaison linéaire de $P Q$ et $P R$ . Les quatre points $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ sont donc coplanaires.

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

Recherche du coefficient

λ = - \frac{3}{2}

et conclusion

v = - \frac{3}{2} u

(Q1)

pourquoi ces points ?

Critère de colinéarité de deux vecteurs : existence d'un réel multiplicateur, vérifié sur les trois coordonnées.

+1,5 Calcul correct de

A B = (2; - 4; 2)

A C = (- 2; 4; - 2)

(Q2)

pourquoi ces points ?

Coordonnées d'un vecteur défini par deux points : différence des coordonnées extrémité moins origine.

+1,5 Relation

A C = - A B

et conclusion :

A

B

C

alignés (Q2)

pourquoi ces points ?

Trois points sont alignés si et seulement si deux des vecteurs qu'ils définissent sont colinéaires.

+1,5 Mise en système et résolution

x = 1

y = 2

pour

w = x a + y b

(Q3)

pourquoi ces points ?

Décomposition d'un vecteur dans le plan engendré par deux vecteurs non colinéaires.

+2 Vérification de la 3ᵉ équation et conclusion de coplanarité de

a, b, w

(Q3)

pourquoi ces points ?

La compatibilité du système confirme que $w$ appartient au plan vectoriel de $a$ et $b$ .

+1 Calcul de

P Q, P R, P S

et système

P S = x P Q + y P R

(Q4)

pourquoi ces points ?

Quatre points sont coplanaires si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des deux autres non colinéaires.

+1,5 Résolution

x = 2

y = 1

, vérification et conclusion :

P, Q, R, S

coplanaires (Q4)

pourquoi ces points ?

La cohérence du système prouve la coplanarité ; conclusion rédigée explicitement.

Exercice 2 — Représentation paramétrique et position relative de deux droites

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Représentation paramétrique de $(D_{1})$ .

Un point $M (x; y; z)$ appartient à $(D_{1})$ si et seulement s'il existe $t \in R$ tel que $A M = t u$ . On obtient :

$(D_{1}) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = 2 + t z = - 1 + 3 t (t \in R) .$

2. Appartenance des points $E$ et $F$ .

Point $E (5; 4; 5)$ : on cherche $t$ tel que les trois équations soient vérifiées.

$5 = 1 + 2 t \Rightarrow t = 2$ ; $4 = 2 + t \Rightarrow t = 2$ ; $5 = - 1 + 3 t \Rightarrow t = 2.$

La même valeur $t = 2$ convient pour les trois coordonnées : $E \in (D_{1})$ .

Point $F (0; 3; 1)$ : $0 = 1 + 2 t \Rightarrow t = - \frac{1}{2}$ , mais $3 = 2 + t \Rightarrow t = 1$ .

Les valeurs de $t$ sont différentes : $F \in / (D_{1})$ .

3. Colinéarité de $u$ et $w$ .

On cherche $λ$ tel que $w = λ u$ . La première coordonnée donne $- 1 = 2 λ$ , soit $λ = - \frac{1}{2}$ .

Or pour la deuxième coordonnée : $- \frac{1}{2} \times 1 = - \frac{1}{2} \neq = 2$ . Donc il n'existe aucun $λ$ convenable :

$u$ et $w$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent $(D_{1})$ et $(D_{2})$ ne peuvent pas être parallèles : elles sont soit sécantes, soit non coplanaires.

4. Position relative de $(D_{1})$ et $(D_{2})$ .

Une représentation paramétrique de $(D_{2})$ (paramètre $s$ ) est :

$(D_{2}) : ⎩ ⎨ ⎧ x = 5 - s y = - 1 + 2 s z = s (s \in R) .$

Un point commun vérifie le système obtenu en égalant les coordonnées :

$⎩ ⎨ ⎧ 1 + 2 t = 5 - s 2 + t = - 1 + 2 s - 1 + 3 t = s ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ 2 t + s = 4 t - 2 s = - 3 3 t - s = 1$

Avec les deux premières équations : de $2 t + s = 4$ on tire $s = 4 - 2 t$ ; en reportant dans $t - 2 s = - 3$ : $t - 2 (4 - 2 t) = - 3$ , soit $5 t - 8 = - 3$ , donc $t = 1$ et $s = 4 - 2 = 2$ .

Vérification dans la troisième équation : $3 \times 1 - 2 = 1$ . Le système est compatible : les droites sont sécantes.

On calcule $I$ avec $t = 1$ dans $(D_{1})$ : $x = 1 + 2 = 3$ , $y = 2 + 1 = 3$ , $z = - 1 + 3 = 2$ .

$I (3; 3; 2)$

(Contrôle avec $s = 2$ dans $(D_{2})$ : $x = 5 - 2 = 3$ , $y = - 1 + 4 = 3$ , $z = 2$ . Identique.)

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

Représentation paramétrique correcte de

(D_{1})

avec

A M = t u

(Q1)

pourquoi ces points ?

Définition d'une droite par un point et un vecteur directeur ; système paramétrique complet.

+1,5 Test de

E

: même

t = 2

pour les trois coordonnées, donc

E \in (D_{1})

(Q2)

pourquoi ces points ?

Un point appartient à la droite si une seule valeur du paramètre satisfait les trois équations.

+1,5 Test de

F

: valeurs de

t

incompatibles, donc

F \in / (D_{1})

(Q2)

pourquoi ces points ?

L'incompatibilité d'une seule coordonnée suffit à exclure l'appartenance.

+1 Étude de la colinéarité de

u

w

: non colinéaires (Q3)

pourquoi ces points ?

Le parallélisme de deux droites exige des vecteurs directeurs colinéaires.

+1,5 Conclusion :

(D_{1}) ∥ (D_{2})

impossible (sécantes ou non coplanaires) (Q3)

pourquoi ces points ?

Élimination correcte du cas parallèle à partir de l'étude des directions.

+1 Représentation paramétrique de

(D_{2})

et mise en système de l'intersection (Q4)

pourquoi ces points ?

L'intersection se traduit par l'égalité des coordonnées des deux paramétrages.

+1,5 Résolution

t = 1

s = 2

et vérification de la 3ᵉ équation (Q4)

pourquoi ces points ?

La compatibilité du système à trois équations / deux inconnues détermine la position relative.

+1 Conclusion sécantes et calcul de

I (3; 3; 2)

avec contrôle (Q4)

pourquoi ces points ?

Détermination des coordonnées du point d'intersection et vérification croisée.

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