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Examen blanc — Dénombrement et probabilités

⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Dénombrement et probabilités

1 Bac Sciences Maths ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

📋 Comment ça marche

Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Dénombrement : codes, anagrammes et comités

10 pts

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A. On considère l'ensemble des chiffres $E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . On forme des codes de $4$ chiffres choisis dans $E$ .

Combien de codes de $4$ chiffres peut-on former si un même chiffre peut être répété (tirage avec remise et avec ordre) ?
Combien de codes de $4$ chiffres peut-on former si les chiffres sont deux à deux distincts (tirage sans remise et avec ordre) ?

Partie B. On s'intéresse aux mots (anagrammes) que l'on peut écrire avec toutes les lettres du mot MAROC (un mot est une suite ordonnée des $5$ lettres, sans tenir compte du sens).

Justifier que les $5$ lettres du mot MAROC sont deux à deux distinctes, puis déterminer le nombre total de ces anagrammes.

Partie C. Un club compte $12$ membres : $5$ filles et $7$ garçons. On veut constituer un comité de $5$ membres (l'ordre des membres n'intervient pas).

Déterminer le nombre total de comités possibles.
Déterminer le nombre de comités formés de exactement $2$ filles et $3$ garçons.

Exercice 2 — Probabilités : tirage simultané dans une urne

10 pts

Une urne contient $12$ boules indiscernables au toucher : $4$ boules rouges, $5$ boules vertes et $3$ boules bleues. On tire simultanément $3$ boules de l'urne (tirage sans ordre et sans remise). On suppose tous les tirages équiprobables.

Justifier que le nombre de tirages possibles est $card (Ω) = (3 12) = 220$ .
On considère l'événement $A$ : « les $3$ boules tirées sont de la même couleur ». Calculer $P (A)$ .
On considère l'événement $B$ : « le tirage contient exactement $2$ boules rouges ». Calculer $P (B)$ .
En remarquant que $A$ et $B$ sont incompatibles, calculer $P (A \cup B)$ .
On considère l'événement $R$ : « le tirage contient au moins une boule rouge ». En utilisant l'événement contraire $\overline{R}$ , calculer $P (R)$ .

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Exercice 1 — Dénombrement : codes, anagrammes et comités

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

Partie A.

1. Un code de $4$ chiffres avec répétition possible est une $4$ -liste (ou $4$ -uplet) de l'ensemble $E$ qui possède $6$ éléments. Le nombre de $p$ -listes d'un ensemble à $n$ éléments est $n^{p}$ . Ici $n = 6$ et $p = 4$ , donc :

$6^{4} = 1296$ codes.

2. Si les chiffres sont distincts, l'ordre intervient et il n'y a pas de répétition : c'est un arrangement de $4$ éléments parmi $6$ . On rappelle $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$ , d'où :

$A_{6}^{4} = \frac{6 !}{( 6 - 4 )!} = \frac{6 !}{2 !} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ codes.

Partie B.

3. Le mot MAROC est composé des lettres M, A, R, O, C : ces $5$ lettres sont toutes différentes (aucune lettre n'apparaît deux fois). Un anagramme est donc un ordre (une permutation) de ces $5$ lettres distinctes. Le nombre de permutations de $5$ objets distincts est $5!$ , donc :

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ anagrammes.

Partie C.

4. Un comité est une partie à $5$ éléments choisie parmi $12$ , sans ordre et sans répétition : c'est une combinaison. On rappelle $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ , donc :

$(5 12) = \frac{12 !}{5 ! 7 !} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792$ comités.

5. On choisit indépendamment les filles et les garçons, puis on applique le principe multiplicatif. Choix de $2$ filles parmi $5$ : $(2 5)$ . Choix de $3$ garçons parmi $7$ : $(3 7)$ .

$(2 5) = \frac{5 \times 4}{2} = 10; (3 7) = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 35.$

Nombre de comités : $(2 5) \times (3 7) = 10 \times 35 = 350$ comités.

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

A.1 — Reconnaître une

4

-liste et écrire

6^{4}

pourquoi ces points ?

Identifier le modèle « avec remise et avec ordre » et appliquer la formule $n^{p}$ .

+1,5 A.1 — Résultat

6^{4} = 1296

pourquoi ces points ?

Calcul numérique correct du nombre de codes avec répétition.

+1 A.2 — Arrangement

A_{6}^{4} = \frac{6 !}{2 !}

pourquoi ces points ?

Reconnaître « sans remise, avec ordre » et poser la formule des arrangements.

+1,5 A.2 — Résultat

A_{6}^{4} = 360

pourquoi ces points ?

Calcul correct de l'arrangement.

+1 B.3 — Justifier lettres distinctes et écrire

5!

pourquoi ces points ?

Reconnaître une permutation de $5$ objets distincts ; justification du modèle.

+1,5 B.3 — Résultat

5! = 120

pourquoi ces points ?

Calcul correct du nombre d'anagrammes.

+1 C.4 — Combinaison

(5 12) = 792

pourquoi ces points ?

Reconnaître « sans ordre, sans répétition » et calculer la combinaison.

+1 C.5 — Principe multiplicatif

(2 5) \times (3 7) = 350

pourquoi ces points ?

Choix séparés filles/garçons puis produit ; valeurs $10$ et $35$ correctes.

+1,5

Exercice 2 — Probabilités : tirage simultané dans une urne

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Tirer simultanément $3$ boules parmi $12$ revient à choisir une partie à $3$ éléments parmi $12$ (sans ordre, sans répétition). L'univers $Ω$ est donc l'ensemble de ces combinaisons :

$card (Ω) = (3 12) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220.$

Comme les boules sont indiscernables et le tirage équiprobable, pour tout événement $X$ : $P (X) = \frac{card ( X )}{card ( Ω )}$ .

2. « Même couleur » signifie : $3$ rouges, ou $3$ vertes, ou $3$ bleues. Ces trois cas sont disjoints, on additionne (principe additif) :

$card (A) = (3 4) + (3 5) + (3 3) = 4 + 10 + 1 = 15.$

$P (A) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44} .$

3. « Exactement $2$ rouges » : on choisit $2$ rouges parmi $4$ , et la $3^{e}$ boule parmi les $8$ boules non rouges ( $5$ vertes $+ 3$ bleues). Par le principe multiplicatif :

$card (B) = (2 4) \times (1 8) = 6 \times 8 = 48.$

$P (B) = \frac{48}{220} = \frac{12}{55} .$

4. Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles : $A$ impose $3$ boules de même couleur (donc, dans le cas rouge, $3$ rouges), tandis que $B$ impose exactement $2$ rouges ; aucun tirage ne peut vérifier les deux à la fois. Donc :

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) = \frac{15}{220} + \frac{48}{220} = \frac{63}{220} .$

5. L'événement contraire de $R$ « au moins une rouge » est $\overline{R}$ : « aucune boule rouge », c'est-à-dire les $3$ boules sont choisies parmi les $8$ boules non rouges :

$card (\overline{R}) = (3 8) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56 \Rightarrow P (\overline{R}) = \frac{56}{220} = \frac{14}{55} .$

Donc $P (R) = 1 - P (\overline{R}) = 1 - \frac{14}{55} = \frac{41}{55} .$

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

1 — Modéliser

Ω

par

(3 12) = 220

pourquoi ces points ?

Reconnaître le tirage simultané comme une combinaison et calculer $card (Ω)$ .

+1,5 1 — Énoncer

P (X) = \frac{card ( X )}{card ( Ω )}

(équiprobabilité)

pourquoi ces points ?

Justifier l'hypothèse d'équiprobabilité avant tout calcul de probabilité.

+0,5 2 —

card (A) = (3 4) + (3 5) + (3 3) = 15

pourquoi ces points ?

Décomposer « même couleur » en cas disjoints et appliquer le principe additif.

+1,5 2 —

P (A) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}

pourquoi ces points ?

Probabilité correcte et simplifiée.

+1 3 —

card (B) = (2 4) \times (1 8) = 48

pourquoi ces points ?

Choisir $2$ rouges parmi $4$ et $1$ non rouge parmi $8$ (principe multiplicatif).

+1,5 3 —

P (B) = \frac{48}{220} = \frac{12}{55}

pourquoi ces points ?

Probabilité correcte et simplifiée.

+1 4 — Incompatibilité et

P (A \cup B) = \frac{63}{220}

pourquoi ces points ?

Justifier $A \cap B = \emptyset$ puis appliquer $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

+1,5 5 — Événement contraire

P (\overline{R}) = \frac{56}{220}

puis

P (R) = \frac{41}{55}

pourquoi ces points ?

Passer par $\overline{R}$ « aucune rouge » puis $P (R) = 1 - P (\overline{R})$ .

+1,5

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