Examen blanc — Arithmétique dans ℕ

1. Division euclidienne de $a$ par $b$.

On cherche $q$ et $r$ tels que $a=b\times q+r$ avec $0\le r<b$. On a $1456\times 3=4368$ et $1456\times 4=5824>4928$, donc $q=3$ et :

$$4928=1456\times 3+560,0\le 560<1456.$$

Le quotient est $q=3$ et le reste est $r=560$.

2. Algorithme d'Euclide.

On poursuit les divisions euclidiennes successives, le PGCD étant le dernier reste non nul :

$$4928=1456\times 3+560$$

$$1456=560\times 2+336$$

$$560=336\times 1+224$$

$$336=224\times 1+112$$

$$224=112\times 2+0$$

Le dernier reste non nul est $112$, donc $\text{pgcd}(4928,1456)=112$.

3. Premiers entre eux ?

Deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut $1$. Or $\text{pgcd}(a,b)=112\ne 1$, donc $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux.

4. Calcul du PPCM.

D'après la relation $\text{pgcd}(a,b)\times \text{ppcm}(a,b)=a\times b$, on a :

$$\text{ppcm}(a,b)=\frac{a\times b}{\text{pgcd}(a,b)}=\frac{4928\times 1456}{112}=\frac{7175168}{112}=64064.$$

Donc $\text{ppcm}(4928,1456)=64064$.

5. Fraction irréductible.

On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, soit $112$ :

$$\frac{4928}{1456}=\frac{4928÷112}{1456÷112}=\frac{44}{13}.$$

La fraction $\frac{44}{13}$ est irréductible car $\text{pgcd}(44,13)=1$ : en effet $13$ est premier et ne divise pas $44$ (puisque $44=13\times 3+5$), donc $44$ et $13$ sont premiers entre eux.

Partie A.

1. Décomposition de $N=5400$.

On divise successivement par les nombres premiers :

$$5400=2\times 2700=2^2\times 1350=2^3\times 675=2^3\times 3\times 225=2^3\times 3^2\times 75=2^3\times 3^3\times 25.$$

Finalement :

$$N=5400=2^3\times 3^3\times 5^2.$$

2. Nombre de diviseurs.

Si $N=p_1^{{\alpha }_1}\times \cdots \times p_k^{{\alpha }_k}$, le nombre de diviseurs positifs est $({\alpha }_1+1)\cdots ({\alpha }_k+1)$. Ici :

$$(3+1)\times (3+1)\times (2+1)=4\times 4\times 3=48.$$

Donc $N$ possède $48$ diviseurs positifs.

3. Carré parfait ?

Un entier est un carré parfait si et seulement si tous les exposants de sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. Or dans $5400=2^3\times 3^3\times 5^2$, les exposants $3$ (de $2$) et $3$ (de $3$) sont impairs. Donc $5400$ n'est pas un carré parfait.

Partie B.

4. Mise en forme.

Comme $\text{pgcd}(x,y)=15$, l'entier $15$ divise à la fois $x$ et $y$ : on peut donc écrire $x=15a$ et $y=15b$ avec $a,b\in \mathbb{N}$. De plus, en mettant le PGCD en facteur, on a $\text{pgcd}(a,b)=1$ (sinon le PGCD de $x$ et $y$ serait strictement supérieur à $15$). Donc $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

En utilisant la relation $\text{pgcd}(x,y)\times \text{ppcm}(x,y)=x\times y$ :

$$15\times 4620=(15a)\times (15b)=225ab⟹ab=\frac{15\times 4620}{225}=\frac{4620}{15}=308.$$

Donc $a\times b=308$ avec $\text{pgcd}(a,b)=1$.

5. Recherche des couples.

Décomposition : $308=2^2\times 7\times 11$. On cherche les couples $(a,b)$ avec $a\le b$, $a\times b=308$ et $\text{pgcd}(a,b)=1$. Chaque facteur premier (avec tout son exposant) doit aller entièrement dans $a$ ou dans $b$. Les blocs sont $2^2=4$, $7$ et $11$. Les répartitions donnant $a\le b$ sont :

$$(a,b)\in \{(1,308),(4,77),(7,44),(11,28)\}.$$

On vérifie que chacun de ces couples est bien formé d'entiers premiers entre eux. En multipliant par $15$, on obtient les couples $(x,y)$ avec $x\le y$ :

$$(x,y)\in \{(15,4620),(60,1155),(105,660),(165,420)\}.$$

Vérification (exemple) : pour $(105,660)$, $\text{pgcd}(105,660)=15$ et $\text{ppcm}=\frac{105\times 660}{15}=4620$. Les quatre couples conviennent.