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Examen blanc — Analyse et produit scalaire

⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Analyse et produit scalaire

1 Bac Sciences Maths ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

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Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
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Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

10 pts

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x - 3}$ .

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$ .

2. Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to - \infty lim f (x)$ .

3. Calculer $x \to 3^{+} lim f (x)$ et $x \to 3^{-} lim f (x)$ .

4. Montrer que pour tout $x \in D_{f}$ : $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 7}{( x - 3 ) ^{2}}$ .

5. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur $D_{f}$ .

6. En déduire que $f$ admet un maximum local et un minimum local dont on précisera les valeurs exactes.

Exercice 2 — Produit scalaire et trigonométrie

10 pts

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, i, j)$ . On considère les points $A (1, 2)$ , $B (4, 3)$ et $C (2, - 1)$ .

Partie A — Produit scalaire.

1. Calculer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ .

2. Calculer le produit scalaire $A B \cdot A C$ .

3. Le triangle $A B C$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier.

4. Déterminer une équation cartésienne du cercle $(C)$ de diamètre $[B C]$ .

Partie B — Trigonométrie.

5. En utilisant une formule d'addition, calculer la valeur exacte de $cos (\frac{7 π}{12})$ .

6. Résoudre dans $[0, 2 π [$ l'équation $2 cos x - 3 = 0$ .

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Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Ensemble de définition. $f$ est rationnelle, définie lorsque le dénominateur ne s'annule pas : $x - 3 \neq = 0$ , soit $x \neq = 3$ . Donc $D_{f} = R ∖ {3} =] - \infty, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

2. Limites en l'infini. Pour une fonction rationnelle, la limite en $\pm \infty$ est celle du quotient des termes de plus haut degré : $\frac{x ^{2}}{x} = x$ . Donc $x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim x = + \infty$ et $x \to - \infty lim f (x) = x \to - \infty lim x = - \infty$ .

3. Limites en $3$ . On a $x \to 3 lim (x^{2} - 3 x + 2) = 9 - 9 + 2 = 2 > 0$ . Le numérateur tend vers $2$ .

Quand $x \to 3^{+}$ , $x - 3 \to 0^{+}$ donc $f (x) \to \frac{2}{0 ^{+}} = + \infty$ .

Quand $x \to 3^{-}$ , $x - 3 \to 0^{-}$ donc $f (x) \to \frac{2}{0 ^{-}} = - \infty$ .

4. Dérivée. $f = \frac{u}{v}$ avec $u = x^{2} - 3 x + 2$ , $v = x - 3$ , donc $u^{'} = 2 x - 3$ et $v^{'} = 1$ . La formule $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ donne :

$f^{'} (x) = \frac{( 2 x - 3 ) ( x - 3 ) - ( x ^{2} - 3 x + 2 ) \cdot 1}{( x - 3 ) ^{2}}$ .

Développons le numérateur : $(2 x - 3) (x - 3) = 2 x^{2} - 6 x - 3 x + 9 = 2 x^{2} - 9 x + 9$ . Puis $2 x^{2} - 9 x + 9 - (x^{2} - 3 x + 2) = x^{2} - 6 x + 7$ .

D'où $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 7}{( x - 3 ) ^{2}}$ .

5. Signe et variations. Comme $(x - 3)^{2} > 0$ sur $D_{f}$ , le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $x^{2} - 6 x + 7$ . Discriminant : $Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 > 0$ . Racines : $x = \frac{6 \pm 8}{2} = 3 \pm 2$ .

Posons $x_{1} = 3 - 2 \approx 1, 59$ et $x_{2} = 3 + 2 \approx 4, 41$ . Le trinôme $x^{2} - 6 x + 7$ (de coefficient dominant positif) est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. On remarque que $x_{1} < 3 < x_{2}$ , et $x = 3$ est exclu de $D_{f}$ .

Ainsi : $f^{'} (x) > 0$ sur $] - \infty, x_{1} [$ , $f^{'} (x) < 0$ sur $] x_{1}, 3 [$ et sur $] 3, x_{2} [$ , et $f^{'} (x) > 0$ sur $] x_{2}, + \infty [$ . Donc $f$ est croissante sur $] - \infty, 3 - 2]$ , décroissante sur $[3 - 2, 3 [$ puis sur $] 3, 3 + 2]$ , et croissante sur $[3 + 2, + \infty [$ .

6. Extremums. En $x_{1} = 3 - 2$ , $f^{'}$ change de signe de $+$ à $-$ : $f$ admet un maximum local. En $x_{2} = 3 + 2$ , $f^{'}$ change de signe de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum local.

Calcul des valeurs. Pour $x = 3 \pm 2$ , on a $x - 3 = \pm 2$ . Au numérateur, en utilisant $f^{'} (x_{i}) = 0 \Rightarrow x_{i}^{2} = 6 x_{i} - 7$ : $x_{i}^{2} - 3 x_{i} + 2 = (6 x_{i} - 7) - 3 x_{i} + 2 = 3 x_{i} - 5$ . Donc $f (x_{i}) = \frac{3 x _{i} - 5}{x _{i} - 3}$ .

Maximum : $f (3 - 2) = \frac{3 ( 3 - 2 ) - 5}{- 2} = \frac{4 - 3 2}{- 2} = \frac{3 2 - 4}{2} = 3 - \frac{4}{2} = 3 - 22 \approx 0, 17$ .

Minimum : $f (3 + 2) = \frac{3 ( 3 + 2 ) - 5}{2} = \frac{4 + 3 2}{2} = \frac{4}{2} + 3 = 3 + 22 \approx 5, 83$ .

On note bien que le maximum local ( $\approx 0, 17$ ) est inférieur au minimum local ( $\approx 5, 83$ ), ce qui est cohérent avec la branche infinie en $x = 3$ .

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

D_{f} = R ∖ {3}

pourquoi ces points ?

Condition d'existence d'une fonction rationnelle : annulation du dénominateur.

x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty

pourquoi ces points ?

Limite d'une rationnelle = limite du quotient des monômes de plus haut degré.

+1,5

x \to 3^{+} lim f = + \infty, x \to 3^{-} lim f = - \infty

pourquoi ces points ?

Numérateur $\to 2 > 0$ et étude du signe de $x - 3$ de part et d'autre de $3$ .

+1,5

f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 7}{( x - 3 ) ^{2}}

pourquoi ces points ?

Application correcte de la formule $(\frac{u}{v})^{'}$ et développement exact du numérateur.

+2 Racines

x = 3 \pm 2

et signe de

f^{'}

pourquoi ces points ?

Discriminant $Δ = 8$ , racines exactes et signe du trinôme (dénominateur strictement positif).

+1,5 Tableau de variations complet sur

D_{f}

pourquoi ces points ?

Sens de variation cohérent sur les quatre intervalles, valeur exclue $x = 3$ respectée.

+1,5 Max

= 3 - 22

, min

= 3 + 22

pourquoi ces points ?

Identification des extremums par changement de signe de $f^{'}$ et calcul des valeurs exactes.

Exercice 2 — Produit scalaire et trigonométrie

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

Partie A.

1. $A B = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}) = (4 - 1, 3 - 2) = (3, 1)$ . $A C = (x_{C} - x_{A}, y_{C} - y_{A}) = (2 - 1, - 1 - 2) = (1, - 3)$ .

2. Dans un repère orthonormé, $A B \cdot A C = x_{A B} x_{A C} + y_{A B} y_{A C} = 3 \times 1 + 1 \times (- 3) = 3 - 3 = 0$ .

3. Puisque $A B \cdot A C = 0$ et que $A B$ et $A C$ sont non nuls, les vecteurs sont orthogonaux. Donc le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ .

4. Le cercle de diamètre $[B C]$ a pour centre le milieu $I$ de $[B C]$ et pour rayon $\frac{B C}{2}$ . $I = (\frac{4 + 2}{2}, \frac{3 + ( - 1 )}{2}) = (3, 1)$ .

$B C = (2 - 4)^{2} + (- 1 - 3)^{2} = (- 2)^{2} + (- 4)^{2} = 4 + 16 = 20 = 25$ , donc le rayon est $R = 5$ et $R^{2} = 5$ .

Équation : $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ .

Vérification : $A (1, 2)$ appartient à ce cercle car $(1 - 3)^{2} + (2 - 1)^{2} = 4 + 1 = 5$ , ce qui confirme l'angle droit en $A$ (théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle).

Partie B.

5. On écrit $\frac{7 π}{12} = \frac{3 π}{12} + \frac{4 π}{12} = \frac{π}{4} + \frac{π}{3}$ . Avec $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ :

$cos (\frac{7 π}{12}) = cos \frac{π}{4} cos \frac{π}{3} - sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{3} = \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

$= \frac{2}{4} - \frac{6}{4} = \frac{2 - 6}{4}$ .

(Valeur négative, $\approx - 0, 259$ , cohérente car $\frac{7 π}{12}$ est dans le deuxième quadrant.)

6. $2 cos x - 3 = 0 ⟺ cos x = \frac{3}{2}$ . Or $cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ , donc $cos x = cos \frac{π}{6}$ .

D'où $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ ou $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ , $k \in Z$ .

Dans $[0, 2 π [$ : pour $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ , on prend $k = 0$ , soit $x = \frac{π}{6}$ . Pour $x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ , on prend $k = 1$ , soit $x = 2 π - \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}$ .

Solutions : $S = {\frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}}$ .

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

A B = (3, 1), A C = (1, - 3)

pourquoi ces points ?

Coordonnées d'un vecteur = différence des coordonnées (extrémité moins origine).

A B \cdot A C = 0

pourquoi ces points ?

Expression analytique du produit scalaire en repère orthonormé.

+1,5 Triangle rectangle en

A

pourquoi ces points ?

Produit scalaire nul $\Rightarrow$ orthogonalité des côtés issus de $A$ .

+1 Centre

I (3, 1)

et rayon

R = 5

pourquoi ces points ?

Milieu de $[B C]$ et demi-longueur $\frac{B C}{2}$ correctement calculés.

+1,5

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 5

pourquoi ces points ?

Forme canonique de l'équation d'un cercle de centre et rayon donnés.

+1,5

cos \frac{7 π}{12} = \frac{2 - 6}{4}

pourquoi ces points ?

Décomposition de l'angle et application correcte de $cos (a + b)$ avec valeurs remarquables.

S = {\frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}}

pourquoi ces points ?

Résolution de $cos x = cos \frac{π}{6}$ et sélection des solutions dans $[0, 2 π [$ .

+1,5

Ta note estimée

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