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Examen blanc — Analyse et suites

⏱️ Examen blanc chronométré + barème décodé

Examen blanc — Analyse et suites

1 Bac Sciences Exp ⏱️ 60 min Noté sur 20 2 exercices

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Compose sur une feuille, comme au Bac, pendant que le chrono tourne.
À la fin, on t'affiche le corrigé et le barème ligne par ligne.
Tu coches honnêtement chaque point que tu as réellement écrit → ta note /20.
Tu obtiens un diagnostic : les points-réflexes que tu oublies (théorème non cité, justification manquante…).

Durée : 1 heure. 2 exercices indépendants notés sur 10 chacun. Rigueur de rédaction et justification des théorèmes pris en compte.

⏱️ --:--

✍️ Compose sur ta feuille. Ne regarde le corrigé qu'à la fin.

Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

10 pts

On considère la fonction $f$ définie sur $D_{f} = R ∖ {- 1}$ par :

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$

1. Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to - \infty lim f (x)$ . Interpréter graphiquement le résultat.

2. Calculer $x \to - 1^{-} lim f (x)$ et $x \to - 1^{+} lim f (x)$ . Interpréter graphiquement le résultat.

3. Montrer que pour tout $x \in D_{f}$ : $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ .

4. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_{f})$ au point d'abscisse $x_{0} = 0$ .

Exercice 2 — Suites arithmétiques et géométriques

10 pts

Les trois parties sont indépendantes.

Partie A — Suite arithmétique.

Soit $(u_{n})_{n \geq 1}$ la suite arithmétique de premier terme $u_{1} = 5$ et de raison $r = 3$ .

1. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $u_{20}$ .

2. Calculer la somme $S = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{20}$ .

Partie B — Suite géométrique.

Soit $(v_{n})_{n \geq 1}$ la suite géométrique de premier terme $v_{1} = 2$ et de raison $q = 3$ .

3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $v_{6}$ .

4. Calculer la somme $T = v_{1} + v_{2} + \dots + v_{6}$ .

Partie C — Suite auxiliaire.

On considère la suite $(w_{n})_{n \geq 0}$ définie par $w_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ : $w_{n + 1} = \frac{1}{2} w_{n} + 3$ . On pose $t_{n} = w_{n} - 6$ .

5. Montrer que $(t_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $t_{0}$ .

6. En déduire l'expression de $t_{n}$ puis de $w_{n}$ en fonction de $n$ .

Ta note (coche tes points)

0 / 20

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Exercice 1 — Étude d'une fonction rationnelle

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

1. Limites en l'infini.

Pour $x \neq = 0$ , on factorise par $x$ : $f (x) = \frac{x ( 2 - \frac{1}{x} )}{x ( 1 + \frac{1}{x} )} = \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ .

Comme $\frac{1}{x} \to 0$ en $\pm \infty$ :

$x \to + \infty lim f (x) = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2, x \to - \infty lim f (x) = 2.$

La droite d'équation $y = 2$ est une asymptote horizontale à $(C_{f})$ au voisinage de $+ \infty$ et de $- \infty$ .

2. Limites en $- 1$ .

Quand $x \to - 1$ , le numérateur tend vers $2 (- 1) - 1 = - 3 < 0$ et le dénominateur $x + 1$ tend vers $0$ .

Si $x \to - 1^{-}$ alors $x + 1 \to 0^{-}$ , donc $f (x) = \frac{- 3}{0 ^{-}} \to + \infty$ .

Si $x \to - 1^{+}$ alors $x + 1 \to 0^{+}$ , donc $f (x) = \frac{- 3}{0 ^{+}} \to - \infty$ .

$x \to - 1^{-} lim f (x) = + \infty, x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty.$

La droite d'équation $x = - 1$ est une asymptote verticale à $(C_{f})$ .

3. Dérivée et variations.

$f$ est dérivable sur $D_{f}$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas. Avec $u = 2 x - 1$ ( $u^{'} = 2$ ) et $v = x + 1$ ( $v^{'} = 1$ ) :

$f^{'} (x) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x - 1 ) \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x + 2 - 2 x + 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} .$

Pour tout $x \in D_{f}$ , $(x + 1)^{2} > 0$ donc $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $] - \infty, - 1 [$ et sur $] - 1, + \infty [$ .

Tableau de variations :

$x$	$- \infty$		$- 1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$∥$	$+$
$f (x)$	$2$	$↗$	$+ \infty ∥ - \infty$	$↗$	$2$

4. Équation de la tangente en $x_{0} = 0$ .

$f (0) = \frac{2 ( 0 ) - 1}{0 + 1} = - 1$ et $f^{'} (0) = \frac{3}{( 0 + 1 ) ^{2}} = 3$ .

$(T) : y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0) = 3 x - 1.$

$(T) : y = 3 x - 1.$

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

x \to \pm \infty lim f (x) = 2

(factorisation par

x

)

pourquoi ces points ?

Lever la forme $\frac{\infty}{\infty}$ par mise en facteur de $x$ et conclure aux deux limites.

+1,5 Asymptote horizontale

y = 2

pourquoi ces points ?

Interprétation graphique correcte de la limite finie en l'infini.

+0,5

x \to - 1^{-} lim f = + \infty

x \to - 1^{+} lim f = - \infty

(signe de

x + 1

)

pourquoi ces points ?

Le numérateur tend vers $- 3 < 0$ ; il faut étudier le signe du dénominateur à gauche et à droite.

+2 Asymptote verticale

x = - 1

pourquoi ces points ?

Interprétation graphique des limites infinies en $- 1$ .

+0,5

f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}

(formule du quotient)

pourquoi ces points ?

Application correcte de $(u / v)^{'}$ et simplification du numérateur.

+2 Signe de

f^{'}

et tableau de variations

pourquoi ces points ?

$f^{'} > 0$ donc $f$ croissante sur chaque intervalle ; tableau complet avec valeurs aux bornes.

+1,5

(T) : y = 3 x - 1

(calcul de

f (0)

f^{'} (0)

)

pourquoi ces points ?

Utilisation de $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ avec les bonnes valeurs.

Exercice 2 — Suites arithmétiques et géométriques

10 pts

📖 Voir le corrigé rédigé

Partie A.

1. Pour une suite arithmétique : $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r = 5 + 3 (n - 1) = 3 n + 2$ .

Donc $u_{20} = 3 \times 20 + 2 = 62$ .

2. Somme de $20$ termes consécutifs :

$S = \frac{20 ( u _{1} + u _{20} )}{2} = \frac{20 ( 5 + 62 )}{2} = 10 \times 67 = 670.$

Partie B.

3. Pour une suite géométrique : $v_{n} = v_{1} q^{n - 1} = 2 \times 3^{n - 1}$ .

Donc $v_{6} = 2 \times 3^{5} = 2 \times 243 = 486$ .

4. Somme de $6$ termes consécutifs (raison $q = 3 \neq = 1$ ) :

$T = v_{1} \frac{q ^{6} - 1}{q - 1} = 2 \times \frac{3 ^{6} - 1}{3 - 1} = 2 \times \frac{729 - 1}{2} = 728.$

Partie C.

5. Pour tout $n \in N$ :

$t_{n + 1} = w_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} w_{n} + 3 - 6 = \frac{1}{2} w_{n} - 3 = \frac{1}{2} (w_{n} - 6) = \frac{1}{2} t_{n} .$

Donc $(t_{n})$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ , de premier terme $t_{0} = w_{0} - 6 = 1 - 6 = - 5$ .

6. D'où $t_{n} = t_{0} (\frac{1}{2})^{n} = - 5 (\frac{1}{2})^{n}$ .

Comme $w_{n} = t_{n} + 6$ :

$w_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n} .$

Vérification : $w_{1} = 6 - 5 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3, 5$ et $\frac{1}{2} w_{0} + 3 = \frac{1}{2} + 3 = 3, 5$ .

🧮 Barème — coche ce que tu as écrit

u_{n} = 3 n + 2

pourquoi ces points ?

Formule $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$ correctement développée.

u_{20} = 62

pourquoi ces points ?

Application numérique du terme général.

+0,5

S = 670

(somme arithmétique)

pourquoi ces points ?

Formule $\frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$ avec le bon nombre de termes.

+1,5

v_{n} = 2 \times 3^{n - 1}

v_{6} = 486

pourquoi ces points ?

Terme général géométrique $v_{n} = v_{1} q^{n - 1}$ et calcul de $v_{6}$ .

+1,5

T = 728

(somme géométrique)

pourquoi ces points ?

Formule $v_{1} \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ correctement appliquée.

(t_{n})

géométrique de raison

\frac{1}{2}

pourquoi ces points ?

Calcul de $t_{n + 1}$ aboutissant à $t_{n + 1} = \frac{1}{2} t_{n}$ , justification du caractère géométrique.

t_{0} = - 5

pourquoi ces points ?

Premier terme de la suite auxiliaire.

+0,5

t_{n} = - 5 (\frac{1}{2})^{n}

puis

w_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n}

pourquoi ces points ?

Terme général de $(t_{n})$ et retour à $w_{n} = t_{n} + 6$ .

Ta note estimée

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