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Le chapitre Décroissance radioactive est-il au programme du bac marocain ?

Oui, Décroissance radioactive fait partie du programme officiel de 2ème Bac au Maroc et tombe régulièrement aux examens nationaux.

Les cours et exercices de Décroissance radioactive sont-ils gratuits ?

Oui. Le cours, le résumé, les formules clés et les exercices corrigés de Décroissance radioactive sont accessibles gratuitement sur AtlasPC.

Décroissance radioactive — Résumé de cours

1ère Année Collège — AtlasPC.ma

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Contenu du cours

1. Le noyau atomique : rappel

Un noyau atomique est représenté par le symbole $_{Z}^{A} X$ , où $A$ est le nombre de masse (nombre de nucléons, c'est-à-dire protons + neutrons) et $Z$ le numéro atomique (nombre de protons, qui définit l'élément chimique). Le nombre de neutrons est $N = A - Z$ . Deux noyaux sont dits isotopes s'ils ont le même numéro atomique $Z$ mais un nombre de masse $A$ différent.

2. La radioactivité : un phénomène spontané et aléatoire

La radioactivité est la transformation spontanée d'un noyau instable, appelé noyau père, en un noyau plus stable, appelé noyau fils, avec émission d'une particule (noyau d'hélium, électron ou positron) et souvent d'un rayonnement électromagnétique $γ$ . Ce phénomène est aléatoire (imprévisible pour un noyau isolé, mais statistiquement régulier sur un grand nombre) et spontané : indépendant de la température, de la pression ou de l'état chimique du noyau.

3. La radioactivité alpha ( $α$ )

Elle concerne les noyaux lourds instables ( $Z > 82$ environ). Le noyau père émet une particule $α$ , noyau d'hélium $_{2}^{4} He$ :

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} He$

Le noyau fils possède donc quatre nucléons de moins et deux protons de moins que le noyau père.

4. La radioactivité bêta moins ( $β^{-}$ )

Elle concerne les noyaux dont le rapport $N / Z$ est trop élevé (excès de neutrons). Un neutron se transforme en proton, avec émission d'un électron (particule $β^{-}$ ) et d'un antineutrino :

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z + 1}^{A} Y +_{- 1}^{0} e$

Le nombre de masse $A$ ne change pas, mais le numéro atomique augmente d'une unité.

5. La radioactivité bêta plus ( $β^{+}$ )

Elle concerne les noyaux dont le rapport $N / Z$ est trop faible (excès de protons). Un proton se transforme en neutron, avec émission d'un positron (particule $β^{+}$ , antiparticule de l'électron) et d'un neutrino :

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z - 1}^{A} Y +_{1}^{0} e$

Le nombre de masse $A$ ne change pas, mais le numéro atomique diminue d'une unité.

6. Les lois de conservation de Soddy

Toute désintégration radioactive obéit à deux lois de conservation, appelées lois de Soddy : la conservation du nombre de nucléons (la somme des nombres de masse $A$ est identique avant et après la réaction) et la conservation de la charge électrique (la somme des numéros atomiques $Z$ est identique avant et après la réaction). Ces deux lois permettent de déterminer le noyau fils ou la particule émise, connaissant le noyau père et le type de radioactivité observé.

7. Loi de décroissance radioactive

La désintégration d'un noyau est un phénomène aléatoire, mais pour un échantillon contenant un grand nombre $N$ de noyaux radioactifs, le nombre de désintégrations pendant une durée $d t$ est proportionnel à $N$ et à $d t$ :

$d N = - λ N d t$

où $λ$ est une constante positive caractéristique du noyau considéré. En intégrant cette équation différentielle, on obtient la loi de décroissance radioactive :

$N (t) = N_{0} e^{- λ t}$

où $N_{0}$ est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant $t = 0$ .

8. La constante radioactive $λ$

La constante radioactive $λ$ , exprimée en $s^{- 1}$ (ou toute autre unité inverse d'un temps), représente la probabilité qu'un noyau donné se désintègre par unité de temps. Elle est caractéristique de chaque espèce de noyau radioactif et ne dépend d'aucun paramètre extérieur. On lui associe la durée de vie moyenne $τ = \frac{1}{λ}$ .

9. La demi-vie (ou période radioactive) $t_{1/2}$

La demi-vie $t_{1/2}$ est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se soient désintégrés. Elle est liée à la constante radioactive par la relation :

$t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$

Après $n$ demi-vies, il reste $N = \frac{N _{0}}{2 ^{n}}$ noyaux radioactifs. La demi-vie est propre à chaque noyau : de quelques fractions de seconde à plusieurs milliards d'années selon les espèces.

10. L'activité d'un échantillon radioactif

L'activité $A (t)$ d'un échantillon radioactif est le nombre de désintégrations produites par unité de temps :

$A (t) = - \frac{d N}{d t} = λ N (t) = A_{0} e^{- λ t}$

avec $A_{0} = λ N_{0}$ . Elle s'exprime en becquerels ( $Bq$ ), une désintégration par seconde. Sa décroissance, de même loi exponentielle que $N (t)$ , permet de mesurer $λ$ ou $t_{1/2}$ , notamment en médecine nucléaire ou en datation.

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Décroissance du cobalt 60

Un échantillon de cobalt 60 ( $_{27}^{60} Co$ ), de demi-vie $t_{1/2} = 5, 27$ ans, contient initialement $N_{0} = 4, 0 \times 1 0^{18}$ noyaux radioactifs. On souhaite déterminer le nombre de noyaux restants et l'activité de l'échantillon après $t = 10$ ans.

Constante radioactive : $λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}} = \frac{0 , 693}{5 , 27} \approx 0, 1315 an^{- 1}$ .

Nombre de noyaux restants : $N (10) = N_{0} e^{- λ t} = 4, 0 \times 1 0^{18} \times e^{- 0, 1315 \times 10} = 4, 0 \times 1 0^{18} \times e^{- 1, 315} \approx 4, 0 \times 1 0^{18} \times 0, 268 \approx 1, 07 \times 1 0^{18}$ noyaux.

Activité initiale : en convertissant $λ$ en $s^{- 1}$ (1 an $\approx 3, 156 \times 1 0^{7}$ s), on obtient $λ \approx 4, 17 \times 1 0^{- 9} s^{- 1}$ , donc $A_{0} = λ N_{0} \approx 4, 17 \times 1 0^{- 9} \times 4, 0 \times 1 0^{18} \approx 1, 67 \times 1 0^{10} Bq$ .

Activité après 10 ans : $A (10) = A_{0} e^{- λ t} \approx 1, 67 \times 1 0^{10} \times 0, 268 \approx 4, 47 \times 1 0^{9} Bq$ .

Exemple résolu 2 : Écrire trois équations de désintégration

On considère successivement trois noyaux radioactifs : le radium 226 ( $_{88}^{226} Ra$ , émetteur $α$ ), le carbone 14 ( $_{6}^{14} C$ , émetteur $β^{-}$ ) et le carbone 11 ( $_{6}^{11} C$ , émetteur $β^{+}$ ).

Radium 226 ( $α$ ) : $A^{'} = 226 - 4 = 222$ et $Z^{'} = 88 - 2 = 86$ , ce qui correspond au radon :

$_{88}^{226} Ra ⟶_{86}^{222} Rn +_{2}^{4} He$

Carbone 14 ( $β^{-}$ ) : $A^{'} = 14$ et $Z^{'} = 6 + 1 = 7$ , ce qui correspond à l'azote :

$_{6}^{14} C ⟶_{7}^{14} N +_{- 1}^{0} e$

Carbone 11 ( $β^{+}$ ) : $A^{'} = 11$ et $Z^{'} = 6 - 1 = 5$ , ce qui correspond au bore :

$_{6}^{11} C ⟶_{5}^{11} B +_{1}^{0} e$

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

$_{Z}^{A} X ⟶_{Z - 2}^{A - 4} Y +_{2}^{4} He$ — équation générale de désintégration $α$ .
$_{Z}^{A} X ⟶_{Z + 1}^{A} Y +_{- 1}^{0} e$ — équation générale de désintégration $β^{-}$ (émission d'un électron).
$_{Z}^{A} X ⟶_{Z - 1}^{A} Y +_{1}^{0} e$ — équation générale de désintégration $β^{+}$ (émission d'un positron).
$\sum A_{avant} = \sum A_{apr \overset{e}{ˋ} s}$ et $\sum Z_{avant} = \sum Z_{apr \overset{e}{ˋ} s}$ — lois de Soddy (conservation du nombre de nucléons et de la charge).
$N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ — loi de décroissance radioactive ; $N_{0}$ nombre initial de noyaux, $t$ en s (unité cohérente avec $λ$ ).
$λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}}$ — constante radioactive ; $λ$ en $s^{- 1}$ , $t_{1/2}$ en s.
$t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ}$ — demi-vie (ou période radioactive), en s.
$τ = \frac{1}{λ}$ — durée de vie moyenne, en s.
$N = \frac{N _{0}}{2 ^{n}}$ avec $n = \frac{t}{t _{1/2}}$ — nombre de noyaux restants après $n$ demi-vies.
$A (t) = λ N (t) = A_{0} e^{- λ t}$ — activité radioactive ; $A$ en becquerels (Bq).
$A_{0} = λ N_{0}$ — activité initiale de l'échantillon.
$1 Bq = 1$ désintégration par seconde — définition de l'unité d'activité.
$N = \frac{m}{M} \times N_{A}$ — nombre de noyaux à partir de la masse ; $m$ en g, $M$ en $g.mol^{- 1}$ , $N_{A} \approx 6, 02 \times 1 0^{23} mol^{- 1}$ .
$t = \frac{t _{1/2}}{ln 2} \times ln (\frac{A _{0}}{A})$ — détermination de l'âge d'un échantillon (datation) à partir de son activité mesurée $A$ .

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

Pièges fréquents à éviter

Confondre les deux sens de la lettre $A$ : le nombre de masse (nombre de nucléons) et l'activité radioactive portent la même notation $A$ ; il faut toujours préciser le contexte pour éviter toute confusion.
Oublier que $A$ ne change jamais dans une désintégration $β$ : seul le numéro atomique $Z$ varie ( $\pm 1$ ) lors d'une désintégration $β^{-}$ ou $β^{+}$ , alors que $A$ diminue de 4 et $Z$ de 2 lors d'une désintégration $α$ .
Confondre demi-vie $t_{1/2}$ et constante radioactive $λ$ : ce sont deux grandeurs différentes, inversement liées par $λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}}$ , et non identiques ni simplement proportionnelles.
Mélanger les unités de temps : si $t_{1/2}$ est donné en jours ou en années, $λ$ doit être exprimé dans la même unité inverse pour que $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ reste cohérent, sauf à convertir explicitement.
Omettre le neutrino ou l'antineutrino : les désintégrations $β^{-}$ et $β^{+}$ s'accompagnent respectivement d'un antineutrino et d'un neutrino ; ces particules doivent être mentionnées même si elles sont parfois omises par simplification dans certains exercices.
Confondre positron et électron : le positron (émis en $β^{+}$ ) a une charge $+ e$ et se note $_{1}^{0} e$ , tandis que l'électron (émis en $β^{-}$ ) a une charge $- e$ et se note $_{- 1}^{0} e$ ; une inversion conduit à un noyau fils erroné.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

Méthode 1 : Écrire une équation de désintégration radioactive

Étape 1. Identifier le type de radioactivité ( $α$ , $β^{-}$ ou $β^{+}$ ) à partir de l'énoncé, ou en comparant le rapport $N / Z$ du noyau à la vallée de stabilité.

Étape 2. Écrire le noyau père $_{Z}^{A} X$ et la particule émise correspondante ( $_{2}^{4} He$ , $_{- 1}^{0} e$ ou $_{1}^{0} e$ ).

Étape 3. Appliquer les lois de Soddy pour déterminer $A^{'}$ et $Z^{'}$ du noyau fils : pour $α$ , $A^{'} = A - 4$ et $Z^{'} = Z - 2$ ; pour $β^{-}$ , $A^{'} = A$ et $Z^{'} = Z + 1$ ; pour $β^{+}$ , $A^{'} = A$ et $Z^{'} = Z - 1$ .

Étape 4. Identifier l'élément chimique correspondant à $Z^{'}$ à l'aide de la classification périodique, puis écrire l'équation complète et équilibrée.

Méthode 2 : Calculer une constante radioactive ou une demi-vie

Étape 1. Repérer la donnée fournie ( $λ$ ou $t_{1/2}$ ) et utiliser la relation $λ = \frac{ln 2}{t _{1/2}}$ (ou son inverse).

Étape 2. Vérifier la cohérence des unités de temps entre $λ$ et $t_{1/2}$ (secondes, jours, années...), en convertissant si nécessaire.

Étape 3. Effectuer le calcul numérique en utilisant $ln 2 \approx 0, 693$ .

Méthode 3 : Déterminer le nombre de noyaux restants ou l'activité à un instant $t$

Étape 1. Identifier $N_{0}$ (ou $A_{0}$ ), $λ$ (ou $t_{1/2}$ ), et l'instant $t$ considéré.

Étape 2. Si $t$ correspond à un nombre entier de demi-vies, utiliser directement $N = \frac{N _{0}}{2 ^{n}}$ ; sinon, utiliser la loi générale $N (t) = N_{0} e^{- λ t}$ .

Étape 3. En déduire l'activité par $A (t) = λ N (t)$ , en veillant à exprimer $λ$ en $s^{- 1}$ si l'activité doit être donnée en becquerels.

Méthode 4 : Déterminer l'âge d'un échantillon par datation radioactive

Étape 1. Relever l'activité mesurée $A$ de l'échantillon et l'activité de référence $A_{0}$ (par exemple celle d'un échantillon actuel équivalent).

Étape 2. Appliquer la relation $t = \frac{t _{1/2}}{ln 2} \times ln (\frac{A _{0}}{A})$ .

Étape 3. Vérifier la cohérence du résultat obtenu avec le contexte de l'énoncé (âge archéologique, géologique...).

Décroissance radioactive — Fiche d'exercices

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3 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

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Exercices Faciles

1 exercices

Désintégration alpha du radium 226

Facile

Énoncé

Le radium 226 (

_{88}^{226} Ra

) est un noyau radioactif émetteur

α

. 1) Écrire l'équation de désintégration du radium 226. 2) Identifier le noyau fils obtenu (nom de l'élément, numéro atomique et nombre de masse).

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices Intermédiaires

1 exercices

Décroissance de l'iode 131

Intermédiaire

Énoncé

L'iode 131 (

_{53}^{131} I

), utilisé en médecine nucléaire, a une demi-vie

t_{1/2} = 8, 02

jours. 1) Calculer la constante radioactive

λ

de l'iode 131, en

jour^{- 1}

. 2) Calculer le pourcentage de noyaux restants dans un échantillon après

t = 24

jours. 3) Calculer la durée nécessaire pour que l'activité de l'échantillon soit réduite à 10 % de sa valeur initiale.

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices Difficiles

1 exercices

Datation au carbone 14 d'un échantillon de bois

Difficile

Énoncé

Un échantillon de bois ancien, prélevé lors de fouilles archéologiques, présente une activité

A = 6, 0 Bq

par gramme de carbone. Un échantillon de bois vivant actuel présente, pour la même masse de carbone, une activité de référence

A_{0} = 13, 6 Bq

. La demi-vie du carbone 14 est

t_{1/2} = 5730

ans. 1) Expliquer pourquoi l'activité d'un être vivant reste constante tant qu'il est en vie, et pourquoi elle diminue après sa mort. 2) Calculer la constante radioactive

λ

du carbone 14, en

an^{- 1}

. 3) Déterminer l'âge de l'échantillon de bois.

Ma réponse

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Correction détaillée

Exercices supplémentaires

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Décroissance radioactive

Décroissance radioactive — Résumé de cours

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Contenu du cours

1. Le noyau atomique : rappel

2. La radioactivité : un phénomène spontané et aléatoire

3. La radioactivité alpha ( $α$ )

4. La radioactivité bêta moins ( $β^{-}$ )

5. La radioactivité bêta plus ( $β^{+}$ )

6. Les lois de conservation de Soddy

7. Loi de décroissance radioactive

8. La constante radioactive $λ$

9. La demi-vie (ou période radioactive) $t_{1/2}$

10. L'activité d'un échantillon radioactif

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Décroissance du cobalt 60

Exemple résolu 2 : Écrire trois équations de désintégration

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

Astuces & Pièges à éviter

Pièges fréquents à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Écrire une équation de désintégration radioactive

Méthode 2 : Calculer une constante radioactive ou une demi-vie

Méthode 3 : Déterminer le nombre de noyaux restants ou l'activité à un instant $t$

Méthode 4 : Déterminer l'âge d'un échantillon par datation radioactive

Décroissance radioactive — Fiche d'exercices

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Exercices Faciles

Désintégration alpha du radium 226

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Décroissance de l'iode 131

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Datation au carbone 14 d'un échantillon de bois

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Questions fréquentes

Pour aller plus loin

Décroissance radioactive

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1. Le noyau atomique : rappel

2. La radioactivité : un phénomène spontané et aléatoire

3. La radioactivité alpha (α)

4. La radioactivité bêta moins (β−)

5. La radioactivité bêta plus (β+)

6. Les lois de conservation de Soddy

7. Loi de décroissance radioactive

8. La constante radioactive λ

9. La demi-vie (ou période radioactive) t1/2​

10. L'activité d'un échantillon radioactif

📈 Figure clé

Exemple résolu 1 : Décroissance du cobalt 60

Exemple résolu 2 : Écrire trois équations de désintégration

🔑 Formules clés à retenir

Formules essentielles

Astuces & Pièges à éviter

Pièges fréquents à éviter

Méthodes types

Méthode 1 : Écrire une équation de désintégration radioactive

Méthode 2 : Calculer une constante radioactive ou une demi-vie

Méthode 3 : Déterminer le nombre de noyaux restants ou l'activité à un instant t

Méthode 4 : Déterminer l'âge d'un échantillon par datation radioactive

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Méthode 3 : Déterminer le nombre de noyaux restants ou l'activité à un instant $t$