1. Le modèle planétaire de l'atome d'hydrogène

L'atome est presque entièrement vide : un noyau central, très petit et très massif, porte la charge positive $+e$ (un proton pour l'hydrogène), autour duquel gravite un électron de charge $-e$ et de masse $m_e$. Par analogie avec les planètes autour du Soleil, ce modèle est dit planétaire : dans le modèle de Bohr, l'électron décrit autour du proton, supposé fixe, une trajectoire circulaire de rayon $r$, dans un référentiel lié au noyau supposé galiléen.

2. La force électrique noyau-électron (interaction coulombienne)

Le proton et l'électron, de charges opposées, s'attirent selon la loi de Coulomb :

$$F=k\frac{e^2}{r^2}$$

où $k=9\times 10^9{\text{N.m}}^2.{\text{C}}^{-2}$, $e=1,6\times 10^{-19}\text{C}$ et $r$ la distance noyau-électron. La force $\vec{F}$ est dirigée de l'électron vers le proton : elle joue le rôle de force centripète.

3. Application de la deuxième loi de Newton

Dans le référentiel du noyau galiléen, l'électron n'est soumis qu'à la force électrique (la gravitation est négligeable). La deuxième loi de Newton donne :

$$\vec{F}=m_e\vec{a}$$

soit, sur l'axe radial dirigé vers le noyau :

$$k\frac{e^2}{r^2}=m_{e}a$$

4. Nature du mouvement : trajectoire circulaire uniforme

La force étant toujours radiale, l'accélération est purement centripète : la vitesse $v$ reste constante, le mouvement est circulaire uniforme. Avec $a=\frac{v^2}{r}$, la relation devient :

$$v^2=\frac{k{e}^2}{m_{e}r}$$

Cette équation newtonienne relie $v$ et $r$ mais n'impose, à elle seule, aucune valeur particulière de $r$.

5. Le postulat de quantification de Bohr

Pour expliquer la stabilité de l'atome et les raies discrètes de l'hydrogène, Bohr postule que le moment cinétique de l'électron ne prend que des valeurs multiples entières de $\frac{h}{2\pi }$ :

$$m_{e}vr=n\frac{h}{2\pi },n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

où $h=6,62\times 10^{-34}\text{J.s}$ et $n$ le nombre quantique principal. Seules les orbites vérifiant cette condition sont permises.

6. Rayons des orbites permises : le rayon de Bohr

En combinant la relation newtonienne (étape 4) et le postulat de Bohr (étape 5), on élimine $v$ et on obtient :

$$r_n=n^2{a}_0\text{avec}{a}_0=\frac{h^2}{4{\pi }^2{m}_{e}k{e}^2}\approx 5,29\times 10^{-11}\text{m}$$

Le rayon de Bohr $a_0$ correspond à l'orbite fondamentale ($n=1$) : les rayons permis sont quantifiés, valant $a_0$, $4a_0$, $9a_0$, etc.

7. Énergie totale de l'électron : niveaux d'énergie quantifiés

L'énergie totale est $E=E_c+E_p$, avec $E_c=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2$ et $E_p=-k\frac{e^2}{r}$ (référence nulle à l'infini). Comme $m_e{v}^2=\frac{k{e}^2}{r}$, on montre que $E_c=-\frac{1}{2}{E}_p$, d'où :

$$E=-\frac{k{e}^2}{2r}$$

En remplaçant $r$ par $r_n$, l'énergie est elle aussi quantifiée :

$$E_n=\frac{E_1}{n^2}\text{avec}{E}_1\approx -13,6\text{eV}\approx -2,18\times 10^{-18}\text{J}$$

$E_1$ négative caractérise l'état fondamental ($n=1$), électron lié. Les états $n\ge 2$ sont des états excités, moins liés.

8. Limites du modèle classique de Bohr

Le modèle de Bohr contredit l'électromagnétisme classique : une charge accélérée devrait, selon Maxwell, rayonner continûment de l'énergie, ce qui ferait spiraler l'électron vers le noyau en un temps très court — l'atome serait instable, contrairement à l'expérience. De plus, le postulat de quantification, purement empirique, ne se généralise correctement qu'aux ions hydrogénoïdes et n'explique ni la structure fine des raies, ni les atomes polyélectroniques. Ces limites ont conduit à son remplacement par la mécanique quantique (équation de Schrödinger).