Suites : la croissance qui explose

🎛️ Manipule : la ligne droite contre la fusée

Change les raisons et regarde l'écart entre les deux suites se creuser terme après terme.

Terme initial u₀ : 2.0

Raison r (arithm.) : +1.0

Raison q (géom.) : 1.5

Arithm. u₁₂

14.0

Géom. v₁₂

259.7

Écart v₁₂ − u₁₂

245.7

La bleue avance d'un pas constant ; la jaune se multiplie. Augmente q au-delà de 1 et la fusée décolle.

🌾 Le grain de blé et l'échiquier

Une vieille légende raconte qu'un sage demanda au roi une récompense modeste : un grain de blé sur la première case d'un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant à chaque case. Le roi rit de cette demande si humble… avant de réaliser qu'il aurait fallu plus de blé que la Terre entière n'en a jamais produit.

Cette histoire oppose deux façons de grandir : ajouter toujours la même quantité (croissance arithmétique, lente et régulière) ou multiplier toujours par le même facteur (croissance géométrique, qui finit par exploser). Comprendre cette différence, c'est comprendre la moitié du monde réel.

Une suite, c'est simplement une liste ordonnée de nombres : $u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots$ On note $u_{n}$ le terme de rang $n$ . Toute la question est : comment passe-t-on d'un terme au suivant ?

➕ La suite arithmétique : on avance en ligne droite

Une suite est dite arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison $r$ :

$u_{n + 1} = u_{n} + r$

Si tu connais $u_{0}$ et $r$ , tu peux atteindre n'importe quel terme directement, sans calculer tous les précédents. C'est la forme explicite :

$u_{n} = u_{0} + n r$

Représentée graphiquement, une suite arithmétique donne des points parfaitement alignés : c'est une croissance linéaire. La raison $r$ est la pente de cette droite. Si $r > 0$ la suite croît, si $r < 0$ elle décroît, si $r = 0$ elle reste constante.

On sait aussi calculer d'un coup la somme des premiers termes (la fameuse astuce du jeune Gauss additionnant $1 + 2 + \dots + 100$ ) :

$u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2}$

✖️ La suite géométrique : on décolle

Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la raison $q$ :

$u_{n + 1} = q \times u_{n}$

Là encore, une forme explicite permet d'atteindre n'importe quel terme directement :

$u_{n} = u_{0} \times q^{n}$

Cette fois, les points ne sont plus alignés : ils suivent une courbe qui s'envole. C'est la croissance exponentielle. La somme des premiers termes a aussi une formule magique (valable pour $q \neq = 1$ ) :

$u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$

📈 Quand ça monte… et quand ça s'effondre

Tout le comportement d'une suite géométrique dépend de la valeur absolue de sa raison $q$ (avec $u_{0} > 0$ ) :

$q > 1$ : la suite explose vers $+ \infty$ — c'est l'échiquier, les intérêts composés, la viralité.
$q = 1$ : la suite est constante (on multiplie par 1, rien ne bouge).
$0 < q < 1$ : la suite décroît et tend vers $0$ — comme une dose de médicament éliminée par le corps, ou un objet qui rebondit de moins en moins haut.

Ce dernier cas donne une limite : si $- 1 < q < 1$ , alors $q^{n} \to 0$ quand $n \to + \infty$ , donc $u_{n} \to 0$ . C'est la base des sommes infinies que tu rencontreras en 2BAC SM.

💰 Le sens concret : intérêts simples vs intérêts composés

Tu places 1000 € à un taux de 5 % par an. Deux scénarios :

Intérêts simples (arithmétique) : chaque année on ajoute 5 % du capital initial, soit 50 €. Après $n$ ans : $u_{n} = 1000 + 50 n$ . Au bout de 30 ans : 2500 €.
Intérêts composés (géométrique) : chaque année on multiplie le capital par $1, 05$ , car les intérêts produisent à leur tour des intérêts. Après $n$ ans : $u_{n} = 1000 \times 1, 0 5^{n}$ . Au bout de 30 ans : plus de 4300 €.

Même taux, même capital de départ : mais la magie de la multiplication répétée fait toute la différence. C'est exactement ce qu'Einstein aurait appelé « la huitième merveille du monde ».

🎓 Le lien avec ton programme bac

Les suites sont un pilier de 1BAC SM et reviennent massivement en 2BAC SM :

Reconnaître une suite : tester si $u_{n + 1} - u_{n}$ est constant (arithmétique) ou si $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ est constant (géométrique).
Sens de variation : étudier le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ pour savoir si la suite croît ou décroît.
Sommes de termes : appliquer les formules pour additionner des dizaines de termes en une ligne.
Limites de suites (2BAC SM) : comportement de $q^{n}$ , suites convergentes, divergentes.
Modélisation : populations, capitaux, propagation — partout où une grandeur évolue par étapes.

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