Le second degré : la parabole

🎛️ Manipule : la parabole et ses racines

Bouge a, b, c et regarde le discriminant Δ décider du nombre de points où la courbe coupe l'axe des x.

a : 1.0

b : 0.0

c : -3.0

Discriminant Δ

12.0

Racines

x₁=-1.73
x₂=1.73

Sommet S

(0, -3)

Δ > 0 : la parabole coupe l'axe des x en deux points. Il y a deux racines.

🅿️ Trois nombres pour une courbe

Une fonction du second degré (aussi appelée trinôme) s'écrit, pour $x$ variable et $a$ , $b$ , $c$ des nombres fixés avec $a \neq = 0$ :

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Sa courbe représentative est toujours une parabole. Si $a > 0$ , elle est tournée vers le haut (un « sourire ») ; si $a < 0$ , vers le bas (un « chapeau »). La condition $a \neq = 0$ est essentielle : si $a = 0$ , il ne reste que $b x + c$ , une simple droite.

Le rôle de chacun : $a$ contrôle l'ouverture et le sens de la parabole, $c$ donne l'ordonnée à l'origine (la parabole passe par le point $(0, c)$ ), et $b$ déplace le sommet horizontalement.

🎯 Le discriminant Δ : le juge de paix

La question reine du chapitre : pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f (x) = 0$ ? Géométriquement, ce sont les abscisses où la parabole coupe l'axe des x. Tout se joue grâce à un seul nombre, le discriminant, noté $Δ$ (delta) :

$Δ = b^{2} - 4 a c$

Le signe de $Δ$ décide à lui seul du nombre de solutions. Trois cas, et seulement trois :

Si $Δ > 0$ : deux racines distinctes. La parabole coupe l'axe des x en deux points.
Si $Δ = 0$ : une racine double. La parabole est tangente à l'axe des x (elle le touche en son sommet).
Si $Δ < 0$ : aucune racine réelle. La parabole ne touche jamais l'axe des x.

🧮 Les formules des racines

Quand $Δ \geq 0$ , les racines se calculent avec la célèbre formule :

$x_{1} =$ $- b - Δ$ $2 a$ $x_{2} =$ $- b + Δ$ $2 a$

Quand $Δ = 0$ , les deux formules se confondent et donnent l'unique racine double $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ . C'est exactement l'abscisse du sommet : la parabole touche l'axe pile à son point le plus bas (ou le plus haut).

📐 La forme canonique et le sommet

Toute parabole peut se réécrire sous sa forme canonique, qui révèle directement les coordonnées du sommet $S = (α, β)$ :

$f (x) = a (x - α)^{2} + β$

avec $α = \frac{- b}{2 a}$ (l'abscisse du sommet) et $β = f (α) = c - \frac{b ^{2}}{4 a}$ (l'ordonnée du sommet). La droite verticale d'équation $x = α$ est l'axe de symétrie : la parabole se replie parfaitement sur elle-même autour de cet axe.

🔨 La factorisation

Quand $Δ > 0$ , connaître les deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$ permet de réécrire le trinôme sous forme factorisée :

$f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

C'est une forme extrêmement pratique : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, ce qui redonne immédiatement les solutions. Quand $Δ = 0$ , la factorisation devient $f (x) = a (x - x_{0})^{2}$ . Et quand $Δ < 0$ , le trinôme ne se factorise pas dans les nombres réels.

➕➖ Le signe du trinôme

Le signe de $f (x)$ suit une règle simple et mémorable : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. On résume cela par la formule :

« Signe de $a$ à l'extérieur des racines, signe de $- a$ entre les racines. » Si $Δ < 0$ , il n'y a pas de racine : $f (x)$ garde le signe de $a$ partout, sans jamais changer. Si $Δ = 0$ , $f (x)$ est du signe de $a$ partout, sauf qu'il s'annule en $x_{0}$ .

📝 Un exemple traité de bout en bout

Résolvons $f (x) = x^{2} - 5 x + 6 = 0$ . On a $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .

Discriminant : $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$ . Comme $Δ > 0$ , il y a deux racines.
Racines : $x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .
Factorisation : $f (x) = (x - 2) (x - 3)$ .
Sommet : $α = \frac{5}{2} = 2, 5$ et $β = f (2, 5) = - 0, 25$ , donc $S = (2, 5; - 0, 25)$ .
Signe : $f (x) > 0$ pour $x < 2$ ou $x > 3$ , et $f (x) < 0$ pour $2 < x < 3$ .

🎓 Le lien avec ton programme

Le second degré est l'un des chapitres les plus rentables du lycée. On le découvre en le Tronc Commun (forme, parabole, racines évidentes) et on le maîtrise en 1BAC SM (discriminant, forme canonique, signe). Il revient ensuite partout :

Étude de fonctions : le signe de la dérivée d'un polynôme de degré 3 est un trinôme.
Optimisation : trouver l'aire maximale, le coût minimal — souvent un sommet de parabole.
Physique : la trajectoire d'un projectile sous la gravité est… une parabole.
Probabilités et suites : de nombreuses équations à résoudre sont du second degré.

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Le second degré : la parabole

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