🎛️ Manipule : fais tourner le vecteur v
Change l'angle θ et les normes, puis observe le produit scalaire u·v et la projection de v sur u.
θ = 90° → u·v = 0 → u et v sont orthogonaux
Angle θ
60°
Produit scalaire u·v
3.75
Projection de v sur u
1.25
θ = 60° : u·v = 3.75 > 0. Les vecteurs « pointent » globalement dans la même direction. Approche θ de 90°…
🧭 Deux vecteurs, un seul nombre
Tu sais additionner deux vecteurs, les multiplier par un nombre. Mais comment les multiplier entre eux ? Le produit scalaire répond à cette question d'une façon surprenante : il prend deux vecteurs et et renvoie… un seul nombre réel (un « scalaire », d'où le nom).
Ce nombre, noté , n'est pas un vecteur. C'est une mesure : il encode l'angle entre les deux vecteurs et la façon dont ils « tirent » dans la même direction.
L'intuition : si deux vecteurs pointent dans la même direction, leur produit scalaire est grand et positif. S'ils sont opposés, il est négatif. Et s'ils sont perpendiculaires, il vaut exactement 0.
📏 Première expression : avec l'angle
La définition la plus géométrique fait intervenir les normes et l'angle entre les deux vecteurs :
Tout est là. Comme varie entre et :
- (vecteurs colinéaires de même sens) → → produit scalaire maximal : .
- (vecteurs perpendiculaires) → → produit scalaire nul.
- (vecteurs opposés) → → produit scalaire minimal : .
C'est exactement ce que montre l'animation ci-dessus : fais tourner et regarde passer du positif au négatif en s'annulant pile à .
🔢 Deuxième expression : avec les coordonnées
Dans un repère orthonormé, si et , alors le calcul devient purement algébrique, sans aucun angle à mesurer :
C'est cette formule que tu utiliseras le plus souvent en exercice : deux multiplications, une addition, et c'est fini. Par exemple, pour et : .
🧮 Troisième expression : la polarisation
Il existe une troisième façon, fondée uniquement sur des longueurs (utile quand on ne connaît que les normes, par exemple dans un triangle). On l'appelle identité de polarisation :
Elle découle directement du théorème d'Al-Kashi (la généralisation de Pythagore). C'est avec elle qu'on relie le produit scalaire aux côtés d'un triangle et qu'on retrouve les angles d'une figure.
📍 L'interprétation par la projection
Voici l'image la plus parlante. Projette orthogonalement sur la droite portée par : tu obtiens une « ombre » de , de longueur algébrique . Alors :
Le produit scalaire mesure donc combien de « avance » dans la direction de , multiplié par la longueur de . C'est le segment pointillé jaune de l'animation : quand se rapproche de la perpendiculaire, son ombre rétrécit, et le produit scalaire fond vers .
⊥ Le critère d'orthogonalité
C'est l'application reine du produit scalaire au lycée. Comme :
Exemple : et . On calcule . Conclusion immédiate : et sont orthogonaux, sans avoir tracé quoi que ce soit.
🛠️ À quoi ça sert vraiment
- Le travail d'une force (physique) : si une force déplace un objet d'un vecteur , le travail vaut . Une force perpendiculaire au mouvement ne « travaille » pas : .
- Calculer un angle dans un triangle : à partir des coordonnées de deux côtés, on isole , puis on retrouve l'angle.
- Équation de droite et de cercle : une droite se définit par un point et un vecteur normal tel que .
- Détecter la perpendicularité dans toute figure repérée, sans mesure d'angle.
🎓 Le lien avec ton programme bac
Le produit scalaire est introduit en 1BAC SM et devient un outil central de la géométrie :
- Géométrie repérée (1BAC SM) : calculer des longueurs, des angles, prouver une orthogonalité.
- Équations de droites et de cercles : via un vecteur normal et la condition .
- Théorème d'Al-Kashi : la formule des longueurs dans un triangle quelconque, démontrée avec le produit scalaire.
- Géométrie dans l'espace (2BAC SM) : le produit scalaire se généralise à trois coordonnées, , base des plans et des distances.
- Produit scalaire et physique : travail d'une force, puissance, en spécialité et en sciences.