La loi binomiale

🎛️ Manipule : déforme la loi binomiale

Change le nombre d'épreuves n et la probabilité de succès p, et observe le diagramme en barres de P(X=k).

Nombre d'épreuves n : 10

Probabilité de succès p : 0.50

Espérance E(X)=np

5.00

Écart-type σ

1.581

Mode (k le + probable)

k=5
P=0.246

B(10, 0.5) : distribution symétrique centrée sur E(X) = 5. Bouge les curseurs…

🎲 Une expérience à deux issues : l'épreuve de Bernoulli

Tu lances une pièce : pile ou face. Tu lances un dé et tu regardes si tu obtiens un six : six ou pas six. Tu tires une carte : cœur ou pas cœur. À chaque fois, il n'y a que deux résultats possibles.

On appelle ça une épreuve de Bernoulli. On choisit l'un des deux résultats qu'on appelle le succès (probabilité $p$ ), et l'autre le échec (probabilité $1 - p$ ). C'est la brique élémentaire de tout ce chapitre.

Épreuve de Bernoulli : une expérience aléatoire à exactement deux issues, succès (proba $p$ ) ou échec (proba $1 - p$ ). Si $X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon, alors $E (X) = p$ et $V (X) = p (1 - p)$ .

🔁 On répète n fois : le schéma de Bernoulli

Maintenant, on ne fait pas l'expérience une seule fois : on la répète $n$ fois. Et surtout :

les répétitions sont identiques (même $p$ à chaque fois) ;
les répétitions sont indépendantes (un résultat n'influence pas les suivants).

Ce dispositif s'appelle un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . La question naturelle devient : combien de succès vais-je obtenir au total ? On note $X$ ce nombre de succès. $X$ peut valoir $0, 1, 2, \dots, n$ .

La loi de probabilité de cette variable aléatoire $X$ s'appelle la loi binomiale, notée $X \sim B (n, p)$ .

🧮 La formule magique : P(X = k)

Pour obtenir exactement $k$ succès, il faut deux choses. D'abord, choisir où placer ces $k$ succès parmi les $n$ répétitions : c'est le coefficient binomial $(k n)$ (qu'on lit « $k$ parmi $n$ »). Ensuite, chaque scénario a la même probabilité : $p^{k}$ pour les $k$ succès et $(1 - p)^{n - k}$ pour les $n - k$ échecs.

$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$

Cette formule donne la hauteur de chaque barre du diagramme que tu manipules en haut. Si tu additionnes toutes les barres, $P (X = 0) + P (X = 1) + \dots + P (X = n) = 1$ : c'est la loi tout entière.

🔺 Les coefficients binomiaux & le triangle de Pascal

Le coefficient $(k n)$ compte le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ sans tenir compte de l'ordre. Sa formule exacte :

$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

Mais on n'a pas toujours besoin de la calculer : le triangle de Pascal les engendre tous par simple addition, grâce à la relation $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ (chaque nombre est la somme des deux du dessus) :

$n = 0$ : $1$
$n = 1$ : $11$
$n = 2$ : $121$
$n = 3$ : $1331$
$n = 4$ : $14641$

On y retrouve aussi des symétries utiles : $(k n) = (n - k n)$ , et les valeurs de bord $(0 n) = (n n) = 1$ .

📊 Espérance et variance : où se concentre la loi

Combien de succès en moyenne ? L'intuition est limpide : si tu lances $10$ pièces équilibrées, tu t'attends à environ $5$ piles. En général :

$E (X) = n p V (X) = n p (1 - p) σ (X) = n p (1 - p)$

L'espérance $E (X) = n p$ est la position de la ligne verticale jaune dans la visualisation : le « centre de gravité » de la distribution. L'écart-type $σ$ mesure l'étalement : il est maximal quand $p = 0, 5$ (la loi est large et symétrique) et minimal quand $p$ est proche de $0$ ou de $1$ .

🎯 Exemple traité : 10 lancers de dé, exactement 3 six

On lance un dé équilibré $n = 10$ fois. Le succès = « obtenir un six », donc $p = \frac{1}{6}$ et $1 - p = \frac{5}{6}$ . Soit $X$ le nombre de six. On veut $P (X = 3)$ .

On applique directement la formule avec $k = 3$ :

$P (X = 3) = (3 10) (\frac{1}{6})^{3} (\frac{5}{6})^{7}$

On calcule chaque morceau : $(3 10) = \frac{10 !}{3 ! 7 !} = 120$ , puis $(\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{216}$ et $(\frac{5}{6})^{7} \approx 0, 279$ . Au final :

📈 Quand n est grand : le lien avec la loi normale (TCL)

Manipule la visualisation et monte $n$ jusqu'à $30$ avec $p$ autour de $0, 5$ . Tu vois apparaître la célèbre courbe en cloche. Ce n'est pas un hasard : c'est le théorème central limite (TCL) à l'œuvre.

Quand $n$ devient grand, la loi binomiale $B (n, p)$ s'approche d'une loi normale de même espérance $μ = n p$ et de même écart-type $σ = n p (1 - p)$ . C'est exactement le principe de la planche de Galton : des milliers de billes qui tombent en heurtant des clous (autant d'épreuves de Bernoulli) s'empilent en formant une magnifique cloche gaussienne.

🎓 Le lien avec ton programme bac

La loi binomiale est un pilier des probabilités de 2BAC SM et un classique de l'épreuve :

Reconnaître un schéma de Bernoulli : identifier $n$ , $p$ , le succès, et justifier l'indépendance et la répétition à l'identique ;
Calculer $P (X = k)$ , $P (X \leq k)$ , $P (X \geq k)$ à la calculatrice (fonctions binomFdp / binomFRép) ;
Utiliser $E (X) = n p$ et $σ = n p (1 - p)$ pour interpréter une situation ;
Intervalle de fluctuation et prise de décision (un échantillon est-il conforme ?) ;
Lien avec la loi normale via le TCL pour les grands échantillons.

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La loi binomiale

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🎲 Une expérience à deux issues : l'épreuve de Bernoulli

🔁 On répète n fois : le schéma de Bernoulli

🧮 La formule magique : P(X = k)

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