🎛️ Manipule : la courbe au-dessus ou en-dessous de sa tangente ?
Déplace le point A le long de f(x)=x³−3x. La tangente est tracée en A. Regarde de quel côté se trouve la courbe.
← Gauche : a < 0 (concave) · Milieu : a = 0 (inflexion) · Droite : a > 0 (convexe)
Point A
A=(−1.8, −0.4)
f″(a) = 6a
−10.80
Nature
CONCAVE
a = −1.8 : f″(a) < 0, la courbe est sous sa tangente — elle est concave.
🙂 Une courbe qui sourit ou qui fait la moue
Tu connais déjà le signe de : il te dit si la courbe monte ou descend. Mais une courbe qui monte peut le faire de deux façons très différentes : en se creusant vers le haut (comme un bol qui retient l'eau 🙂) ou en se bombant vers le bas (comme un dôme ☂️).
C'est ça, la convexité : la manière dont la courbe se courbe. Et ce qui la gouverne, ce n'est plus , mais la dérivée seconde .
Convexe (🙂) : la courbe « sourit », elle est tournée vers le haut, au-dessus de chacune de ses tangentes.
Concave (🙁) : la courbe « fait la moue », elle est tournée vers le bas, en-dessous de chacune de ses tangentes.
📐 La définition propre : position par rapport aux cordes
Prends deux points et sur la courbe et trace le segment [AB] (une corde). Une fonction est :
- convexe sur un intervalle si, entre deux points quelconques, la courbe reste sous la corde (et au-dessus de ses tangentes) ;
- concave si la courbe reste au-dessus de la corde (et sous ses tangentes).
Ces deux points de vue — par rapport aux cordes et par rapport aux tangentes — sont équivalents. Dans la viz ci-dessus, c'est le critère de la tangente qu'on visualise.
🔑 Le lien magique avec la dérivée seconde
Voici le cœur du chapitre. Dire que la courbe se creuse de plus en plus vers le haut, c'est dire que sa pente augmente : est croissante. Or une fonction est croissante quand sa dérivée est positive. La dérivée de , c'est . D'où l'enchaînement :
f convexe ⇔ f′ croissante ⇔ f″ ≥ 0
Et symétriquement :
f concave ⇔ f′ décroissante ⇔ f″ ≤ 0
En pratique, pour étudier la convexité d'une fonction, tu calcules et tu étudies son signe, exactement comme tu étudies le signe de pour les variations. C'est la même mécanique, un cran plus haut.
〽️ Le point d'inflexion : l'instant du changement
Que se passe-t-il à l'endroit précis où la courbe arrête de sourire pour commencer à faire la moue (ou l'inverse) ? C'est le point d'inflexion : le point où la courbe change de convexité.
Un point d'abscisse est un point d'inflexion si s'annule en changeant de signe en . Attention : il ne suffit pas que — il faut un changement de signe.
Géométriquement, c'est l'unique endroit où la tangente traverse la courbe : avant le point d'inflexion la courbe est d'un côté de sa tangente, après elle passe de l'autre côté. Déplace le point dans la viz à travers pour voir ce basculement.
Pour , on a et . La dérivée seconde s'annule en en changeant de signe (négative avant, positive après) : l'origine est un point d'inflexion.
🌟 Deux exemples à connaître par cœur
Certaines fonctions ont une convexité constante sur tout leur domaine — pas de point d'inflexion du tout :
- L'exponentielle est convexe partout. Si , alors pour tout . La courbe de est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes — c'est pour ça qu'elle « explose ».
- Le logarithme est concave partout. Si sur ]0\,;+\infty[, alors et . La courbe de est toujours sous ses tangentes.
Et un grand classique du bac : est convexe partout (), tandis qu'un polynôme de degré 3 comme change de convexité une fois.
🚀 À quoi ça sert vraiment
- Inégalités : la convexité de donne , et l'inégalité des pentes / de convexité (inégalité de Jensen au supérieur) en découle.
- Économie : un coût marginal qui augmente = fonction de coût convexe ; un point d'inflexion marque le passage de rendements croissants à décroissants.
- Optimisation : sur un intervalle où est convexe, un point où est forcément un minimum (et un maximum si est concave). C'est la base de tout le calcul d'optimisation.
- Statistiques & modèles en S : une courbe logistique (croissance puis saturation) a un point d'inflexion qui marque la vitesse maximale de croissance.
🎓 Le lien avec ton programme bac
La convexité est un chapitre officiel de 2BAC SM (filière Sciences Maths), juste après les dérivées. Au bac, on te demande typiquement de :
- Calculer et étudier son signe pour conclure sur la convexité ;
- Justifier l'existence d'un point d'inflexion en montrant que s'annule en changeant de signe ;
- Lire la convexité sur un graphique ou sur le tableau de signes de ;
- Exploiter la position courbe/tangente pour établir une inégalité (ex. ).