Taux proportionnel confondu avec taux équivalent

Un eleve doit convertir un taux annuel de $12\%$ en taux mensuel pour capitaliser un placement mois par mois. Reflexe immediat : diviser par $12$, soit $\frac{12\%}{12}=1\%$ par mois. Ce resultat est correct uniquement en interets simples, ou la croissance est lineaire dans le temps. Or en maths financieres au Bac Eco, l'immense majorite des situations (emprunts, annuites, placements, actualisation) se traitent en interets composes, ou la croissance est exponentielle : diviser un taux composé par $12$ n'a alors aucun sens mathematique.

Le bon calcul du taux mensuel equivalent $t$ verifie $(1+t{)}^{12}=1+i$, donc $t=(1+i{)}^{1/12}-1$. Avec $i=0,12$ : $t=(1,12{)}^{1/12}-1\approx 0,9489\%$ par mois (et non $1\%$). L'ecart parait faible, mais il se creuse avec le temps : pour un capital de $10000$ DH place $6$ mois, le taux equivalent donne $10000\times (1,009489{)}^6\approx 10583,01$ DH, ce qui coincide exactement avec $10000\times (1,12{)}^{0,5}$. En utilisant a tort le taux proportionnel de $1\%$, on obtient $10000\times (1,01{)}^6\approx 10615,20$ DH, soit une erreur de plus de $32$ DH deja sur un exemple simple — l'erreur proportionnelle surestime systematiquement l'interet compose.

Reflexe : avant toute conversion de taux, se demander « simples ou composes ? ». Des que le mot « composes », « capitalisation », « annuites » ou « actualisation » apparait, bannir la division directe du taux.

• Ecrire systematiquement la relation d'equivalence $(1+t{)}^{12}=1+i$ avant de calculer quoi que ce soit.
• Ne jamais ecrire $t=i/12$ sauf mention explicite d'interets simples dans l'enonce.
• Verifier l'ordre de grandeur : le taux equivalent mensuel est toujours legerement inferieur au taux proportionnel (ici $0,9489\%<1\%$).
• Utiliser la meme methode pour toute periode (trimestre, semestre) en remplacant l'exposant $1/12$ par $1/4$ ou $1/2$.
• Recalculer le capital final par deux chemins differents (taux annuel direct vs taux mensuel compose sur la meme duree) pour verifier la coherence du resultat.

Au Bac Sciences Economiques, cette confusion coute des points dans presque tous les exercices de mathematiques financieres bases sur les interets composes : calcul d'un taux mensuel ou trimestriel equivalent a un taux annonce annuellement, tableaux d'amortissement d'emprunt avec mensualites constantes, calcul de la valeur actuelle ou de la valeur acquise d'une suite d'annuites. Le barometre officiel isole generalement l'etape « determination du taux periodique » comme un point de bareme a part entiere : une erreur ici entraine une chute en cascade sur tout le reste du calcul (mensualite, tableau d'amortissement, valeur actuelle nette), meme si la methode et la formule de la suite geometrique appliquee ensuite sont parfaitement maitrisees. Les correcteurs marocains penalisent doublement : perte du point sur le taux lui-meme, et perte des points sur le resultat final incoherent qui en decoule.