Proportionnalite traitee de facon additive au lieu de multiplicative
Face a un probleme de proportionnalite, l'eleve ajoute un ecart au lieu de multiplier par un facteur : pour cahiers a dh, il donne dh pour cahiers au lieu de dh.
Enonce : cahiers coutent dh. Combien coutent cahiers ? Le raisonnement correct est multiplicatif : on cherche d'abord le prix d'un seul cahier (le passage a l'unite), puis on multiplie par la quantite demandee. Prix d'un cahier dh. Prix de cahiers dh. C'est la seule reponse correcte.
L'erreur frequente est additive : l'eleve remarque qu'on passe de a cahiers en ajoutant cahiers (), et il applique le meme ecart au prix en ajoutant dh a dh, ce qui donne dh. Ce raisonnement confond une difference de quantite avec une difference de prix : rien ne dit qu'ajouter cahiers coute dh de plus. La bonne reponse est dh, pas dh : l'ecart entre les deux methodes est enorme (une erreur de dh, soit un tiers du vrai prix), et pourtant l'eleve qui repond dh est souvent convaincu d'avoir bien raisonne, car il a bien vu le lien entre les deux situations, mais du mauvais type de lien.
Le reflexe a automatiser : avant toute multiplication ou division dans un probleme de proportionnalite, calculer d'abord le prix (ou la valeur) d'UNE seule unite — le passage a l'unite — puis multiplier ce resultat par la quantite demandee. Ce detour par l'unite empeche presque toujours l'erreur additive, car il oblige a utiliser une division puis une multiplication, jamais une simple addition d'ecart.
- Se demander : "que vaut UNE seule unite (un cahier, un kilo, un litre) ?"
- Calculer le prix unitaire par une division : prix total quantite
- Multiplier ce prix unitaire par la nouvelle quantite demandee
- Ne jamais "ajouter la difference de quantite" directement au prix
- Verifier avec un tableau de proportionnalite (deux lignes, quantite et prix) pour visualiser le facteur commun
- Controler l'ordre de grandeur : si la quantite augmente beaucoup, le prix doit augmenter dans les memes proportions, pas d'un petit ecart fixe
A l'ecole primaire marocaine, cette erreur coute des points tres concretement des que la proportionnalite apparait : problemes de prix au marche ou a la papeterie (prix de plusieurs cahiers, stylos, fournitures), recettes de cuisine a adapter pour plus ou moins de personnes (quantite d'ingredients), problemes de vitesse ou de distance simples, ou partages de quantites. Dans ces exercices tres frequents en annee du primaire, le bareme sanctionne lourdement une reponse obtenue par addition d'un ecart, meme si la demarche est presentee proprement, car le resultat numerique final est faux. Habituer l'eleve au reflexe du passage a l'unite des le primaire est essentiel : c'est la base sur laquelle s'appuiera ensuite tout le travail sur les pourcentages, les echelles et les fonctions lineaires au college.
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Ce biais est tres documente en didactique des mathematiques sous le nom de raisonnement additif erroneenface a une situation multiplicative. Les eleves de primaire apprennent l'addition et la soustraction bien avant la multiplication et la division, et l'addition reste, pendant longtemps, le schema mental "par defaut" pour interpreter toute variation entre deux grandeurs : "si une quantite augmente de tant, l'autre doit augmenter de tant aussi". Ce reflexe fonctionne effectivement dans les situations additives (par exemple l'age, ou ajouter ans a une personne ajoute ans a une autre du meme ecart d'age), ce qui le renforce comme strategie generale. Mais dans une situation de proportionnalite, le lien correct entre les deux grandeurs est un rapport constant (un facteur multiplicatif), pas un ecart constant. Sans un entrainement specifique a repérer le facteur de proportionnalite, l'eleve applique l'heuristique la plus disponible et la plus economique cognitivement — l'addition — meme quand elle est structurellement fausse pour le probleme pose.