الأولمبياد الوطني — الجذع المشترك 2011 — الجذع المشترك

1. نبحث عن الثلاثيات (x,y,z) ∈ (ℝ*)³ التي تحقق : 1/x + 1/y + 1/z = 2010 و x+y+z = 670. حسب متراجحة المتوسط التوافقي-الحسابي، الجداء (1/x+1/y+1/z)(x+y+z) هو :

2. بالنسبة لنفس النظمة {1/x+1/y+1/z=2010 ; x+y+z=670}، الحل الوحيد في (ℝ*)³ هو :

3. كم عدد الحلول الحقيقية للمعادلة (x+1)⁵ + (x+1)⁴(x−1) + (x+1)³(x−1)² + (x+1)²(x−1)³ + (x+1)(x−1)⁴ + (x−1)⁵ = 0 ؟

4. ليكن M(a,b) = max{3a²+2b, 3b²+2a} من أجل (a,b)∈ℝ². القيمة الصغرى لـ M(a,b) هي :

5. المسألة 1 — نظمة : أوجد جميع الثلاثيات (x,y,z) ∈ (ℝ*)³ التي تحقق في آن واحد : 1/x + 1/y + 1/z = 2010 و x + y + z = 670. أثبت أولا أن (1/x+1/y+1/z)(x+y+z) ≥ 9، ثم ناقش الحلول.

6. المسألة 3 (Leyfura Valentyn) — ليكن M(a,b) = max{3a²+2b, 3b²+2a}. أوجد القيمة الصغرى لـ M(a,b) على ℝ².

7. المسألة 2 — حل المعادلة في ℝ : (x+1)⁵ + (x+1)⁴(x−1) + (x+1)³(x−1)² + (x+1)²(x−1)³ + (x+1)(x−1)⁴ + (x−1)⁵ = 0. (تلميح : ضع u=x+1، v=x−1 واستعمل المجموع الهندسي u⁶−v⁶.)